Треугольник трёх внешних биссектрис

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с (треуго́льник це́нтров вневпи́санных окру́жностей) ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C}}$— треугольник, образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника^[1]. (см. рис.)

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C}}$

Эллипс Мандарта

Свойства

• Центр окружности, проходящей через центры ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$ вневписанных окружностей, является точкой Бевэна.
• Исходный треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ является ортотреугольником для треугольника внешних биссектрис.
• Описанная окружность исходного треугольника является для треугольника внешних биссектрис окружностью Эйлера.
• Описанная окружность исходного неравнобедренного (в общем случае) треугольника пересекает стороны треугольника внешних биссектрис в шести разных точках. Три из них являются вершинами исходного треугольника, а три других делят стороны треугольника внешних биссектрис пополам (см. свойства окружности Эйлера).
• Точка пересечения симедиан треугольника трёх внешних биссектрис является центром эллипса Мандара исходного опорного треугольника.

Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)

• Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов ортотреугольника ${\displaystyle ABC}$ для треугольника трёх внешних биссектрис ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3}}$ лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) ортотреугольника ${\displaystyle ABC}$ (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).

Свойства подобия родственных треугольников

• Исходный треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис^[1].
• Ортотреугольник треугольника трех внешних биссектрис, а также треугольник трех внешних биссектрис ортотреугольника совпадают между собой и совпадают с исходным треугольником.
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны^[2].
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Примечания

1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). СПб.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. следствие 1, § 66, с. 81