Элемент длины

Элеме́нт длины́^[1] (англ. line element; length element) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, точнее — интегрального исчисления, элемент интегрирования, главная линейная часть приращения длины кривой, то есть малый отрезок касательной к кривой в рассматриваемой точке. Синонимы: дифференциал длины дуги^[2], дифференциал дуги^[2][3], элемент дуги^[2], линейный элемент^[4].

Элемент длины ${\displaystyle dl}$

Обозначается ${\displaystyle dl}$ или^[2] ${\displaystyle ds}$. При вычислении циркуляции векторного поля представляется в векторной форме как

${\displaystyle d{\vec {l}}=dl\cdot {\vec {e}}_{t}}$,

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{t}}$ — единичный вектор вдоль касательной^[5][6][7][8].

Математическая запись элемента длины зависит от типа системы координат и вида рассматриваемой кривой. В случае декартовой системы элемент длины плоской кривой может выражаться формулой^{[2][3][9][10][11]}

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$.

Её правомерность видна из геометрических рассуждений. Пусть аргумент есть абсцисса ${\displaystyle x}$. Элемент длины ${\displaystyle dl}$ отвечает длине части ${\displaystyle MP}$ касательной к дуге^[англ.] от точки касания^[англ.] ${\displaystyle M}$ до пересечения ${\displaystyle P}$ с приращённой ординатой (см. рис.)^[2]. Дифференциал ${\displaystyle dx}$ равен ${\displaystyle MQ}$, дифференциал ${\displaystyle dy=QP}$, и по теореме Пифагора для ${\displaystyle dl=MP}$ получается выписанное выражение^[2]. По сути, формула приравнивает приращение касательной к дуге ${\displaystyle dl}$ к главной части приращения длины дуги ${\displaystyle \Delta l={\stackrel {\smile }{MN}}}$^[9].

Квадрат элемента длины, выраженный через координаты пространства, называется метрической формой пространства^[4].

Длина ${\displaystyle l}$ плоской или пространственной дуги ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AB}}}$ в любом пространстве находится как^[4][12]:

${\displaystyle l=\int _{(A)}^{(B)}1\,dl}$.

Элемент длины используется при вычислении обычных (не кратных) определённых интегралов. Определённым интегралом с интегральным элементом длины можно выразить целый ряд геометрических и физических величин, например, длину кривой (с подынтегральной функцией 1), площадь или объём (со скалярной подынтегральной функцией), циркуляцию физического вектора по некоему контуру (с векторной подынтегральной функцией)^[6][13].

Аналоги элемента длины больших размерностей — элемент площади и элемент объёма, которые принципиально отличаются от элемента длины тем, что не являются приращениями соответствующих величин — площади и объёма^[14].

Элемент длины в декартовых координатах

Двумерный (плоский) случай

Рассмотрим на плоскости параметрически заданную кривую ${\displaystyle L}$, определяемую в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=\varphi (t),\quad }$ ${\displaystyle y=\psi (t),}$

причём у функций ${\displaystyle \varphi (t)}$ и ${\displaystyle \psi (t)}$ производные непрерывны на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$. В силу формулы вычисления длины отрезка кривой длина ${\displaystyle l(t)}$ переменной дуги задаётся следующей формулой^[3]:

${\displaystyle l(t)=\int _{\alpha }^{t}{\sqrt {\varphi '^{2}(\tau )+\psi '^{2}(\tau )}}d\tau .}$

В этой формуле подынтегральная функция непрерывна, следовательно,

${\displaystyle l'(t)={\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}}$

по свойству интеграла с верхним переменным пределом. Обе части этого равенства возведём в квадрат и потом умножим на ${\displaystyle dt^{2}}$, получим:

${\displaystyle (l'(t)dt)^{2}=(\varphi '(t)dt)^{2}+(\psi '(t)dt)^{2},}$

откуда по причине того, что

${\displaystyle l'(t)dt=dl,\quad }$ ${\displaystyle \varphi '(t)dt=dx,\quad }$ ${\displaystyle \psi '(t)dt=dy,}$

окончательно получаем квадрат элемента длины^[3]:

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}.}$

Если в качестве параметра уравнений кривой взять длину ${\displaystyle l}$ переменной дуги (естественная параметризация), то есть положить

${\displaystyle x=g(l),\quad }$ ${\displaystyle y=h(l),}$

то тогда имеет место следующее равенство^[3]:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}=1.}$

Общий трёхмерный случай

Обобщая полученные результаты на трёхмерное пространство, получаем, что для параметрически заданной пространственной кривой ${\displaystyle L}$, определяемой в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=\varphi (t),\quad }$ ${\displaystyle y=\psi (t),\quad }$ ${\displaystyle z=\chi (t),}$

причём у функций ${\displaystyle \varphi (t)}$, ${\displaystyle \psi (t)}$ и ${\displaystyle \chi (t)}$ производные непрерывны на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$, верна следующая формула для квадрата элемента длины^[11][15][16]:

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.}$

Из этой формулы следует, что если в качестве параметра уравнений пространственной кривой взять длину ${\displaystyle l}$ переменной дуги, то есть положить

${\displaystyle x=g(l),\quad }$ ${\displaystyle y=h(l),\quad }$ ${\displaystyle z=k(l),}$

то тогда имеет место следующее равенство^[16][17]:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dl}}\right)^{2}=1.}$

Элемент длины в криволинейных координатах

Плоский случай, полярные координаты

Обзорная статья: Полярная система координат

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой^[18]:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.}$

Элемент длины ${\displaystyle dl}$ в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть даны некоторая дуга и произвольная точка ${\displaystyle M}$ на ней (см. рис.). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат ${\displaystyle O}$) радиуса ${\displaystyle OM=\rho }$. Рассмотрим криволинейный треугольник ${\displaystyle MKN}$, образованный дугой окружности ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi }$, отрезком ${\displaystyle KN=\Delta \rho }$ и частью ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l}$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине ${\displaystyle K}$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}}$,

то есть в других обозначениях

${\displaystyle \Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги ${\displaystyle l}$ в полярной системе координат^[18].

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные^[19]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

${\displaystyle dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi }$,

${\displaystyle dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi }$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим^[19]:

${\displaystyle dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=}$

${\displaystyle ={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$.

Цилиндрическая и сферическая системы

Запись трёхмерного элемента длины в цилиндрических и сферических координатах представлена в таблице. Цилиндрическая запись при ${\displaystyle z=0}$ и сферическая при ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ превращаются в выражение для случая полярной системы^{[20][21][22][23]}.

Система координат	Пере­менные	Квадрат элемента длины	Коэффициенты Ламе
Декартова	${\displaystyle x,\,y,\,z}$	${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$	${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=1}$
Цилиндрическая	${\displaystyle \rho ,\,\varphi ,\,z}$	${\displaystyle dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}}$	${\displaystyle L_{\rho }=L_{z}=1,}$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho }$
Сферическая	${\displaystyle \rho ,\,\theta ,\,\varphi }$	${\displaystyle dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}+\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}}$	${\displaystyle L_{\rho }=1,}$ ${\displaystyle L_{\theta }=\rho ,}$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho \sin \theta }$

Некоторые несложные примеры расчёта

Для кривой ${\displaystyle y=x^{2}}$ имеем

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left|dy/dx\right|^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4y}}\,dx}$,

${\displaystyle {\vec {e}}_{l}={\frac {dx}{dl}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{dl}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {dx}{{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{{\sqrt {1+4y}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {{\vec {e}}_{x}}{\sqrt {1+4x^{2}}}}+{\frac {2x\,{\vec {e}}_{y}}{\sqrt {1+4y}}}}$.

Ещё пример: для исходящего из начала координат луча (${\displaystyle \theta =\theta _{0}=}$ const, ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}=}$ const) будет

${\displaystyle dl=d\rho ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=|\cos \theta _{0}|^{-1}\,dz}$,

${\displaystyle {\vec {e}}_{l}={\vec {e}}_{\rho }=\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{x}+\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{y}+\cos \theta _{0}\,{\vec {e}}_{z}}$.

И ещё: элемент длины циклоиды

${\displaystyle x=a(t-\sin t),\quad }$ ${\displaystyle y=a(1-\cos t)}$

равен^[24]:

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=a{\sqrt {2(1-\cos t)}}dt=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 2\pi ,\quad a>0.}$

Элемент длины в римановых пространствах

В этом разделе представлены квадраты элемента длины, то есть метрические формы, в некоторых важнейших римановых пространствах^[25].

Евклидово ${\displaystyle n}$-мерное пространство^[4]:

${\displaystyle dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}$.

Плоскость Лобачевского^[26]:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {1}{k^{2}}}{\frac {(1-y^{2})dx^{2}+2xydxdy+(1-x^{2})dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}}$,

где ${\displaystyle k<0}$ — постоянная, которая называется кривизной пространства Лобачевского; ${\displaystyle k^{2}(x^{2}+y^{2})<1}$^[27].

Трёхмерное пространство Лобачевского^[4]:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{\left[1+{\displaystyle {\frac {k}{4}}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\right]^{2}}},\quad }$ ${\displaystyle 1+{\frac {k}{4}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})>0}$.

Пространство Минковского^[4]:

${\displaystyle dl^{2}=dt-{\frac {1}{c^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$,

где ${\displaystyle c}$ ― скорость света, ${\displaystyle t}$ ― время события. В пространстве Минковского элемент длины может принимать мнимое значение^[4].

Финслерово пространство^[28]:

${\displaystyle dl=f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})}$,

где ${\displaystyle f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ — произвольная положительно однородная функция относительно аргументов ${\displaystyle dx^{1},\dots ,dx^{n}}$.

Элемент длины в произвольных координатах

Для элемента длины ${\displaystyle dl}$ выведем формулу в произвольных координатах, опираясь на формулу в декартовых^[29] и ради краткости ограничиваясь двумерной ситуацией (хотя рассуждения можно распространить на трёхмерную).

Пусть задана система координат ${\displaystyle (u,\,v)}$, определяемая уравнениями

${\displaystyle x=x(u,\,v),\quad y=y(u,\,v),}$

позволяющими по координатам ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ любой точки вычислить её декартовы координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Примем^[29], что функции ${\displaystyle x=x(u,\,v)}$ и ${\displaystyle y=y(u,\,v)}$ непрерывно дифференцируемы и обратимы, а якобиан этих функций не равен нулю: ${\displaystyle \det[D(x,\,y)}/{D(u,\,v)]\neq 0}$.

Пусть, далее, дана некоторая кривая ${\displaystyle u=u(t),}$ ${\displaystyle v=v(t),}$ и пусть ${\displaystyle dt}$ — изменение параметра ${\displaystyle t}$, а ${\displaystyle dl}$ — элемент длины этой кривой, соответствующий ${\displaystyle dt}$. Тогда, подставив в уравнение

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$

величины

${\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv,\quad dy={\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv}$,

где ${\displaystyle du=u'(t)dt}$, ${\displaystyle dv=v'(t)dt}$, получим^[30]:

${\displaystyle dl^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}}$,

где ${\displaystyle E={\frac {\partial x}{\partial u}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial u}}^{2}}$, ${\displaystyle F={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}}$, ${\displaystyle G={\frac {\partial x}{\partial v}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial v}}^{2}}$.

${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ суть величины, которые при выбранных координатах ${\displaystyle (u,\,v)}$ полностью задаются выписанными выше уравнениями в любой точке плоскости, причём независимо от выбора кривой, проходящей через эту точку. Напротив, оба дифференциала ${\displaystyle du}$ и ${\displaystyle dv}$ определяются только перемещением точки с координатами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.

Другими словами, выражение для ${\displaystyle dl^{2}}$ есть квадратичная форма (метрическая форма) с аргументами ${\displaystyle du}$, ${\displaystyle dv}$ и коэффициентами ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$^[31]. Полученная формула выражает длину на евклидовой плоскости в произвольных координатах и как частный случай содержит прежнюю формулу для длины в декартовых^[31].

Элемент длины в приложениях

Подынтегральная функция 1

Помимо чисто геометрических задач, понятие скалярного «элемента длины» широко применяется в физике при расчёте длины траектории частицы. Скажем, если траектория задана зависимостью радиус-вектора от времени ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}}$, то ${\displaystyle dx={\dot {x}}dt}$ (и так же для других компонент) и

${\displaystyle L[t_{0},\ldots t]=\int _{t_{0}}^{t}dl=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau }$,

где точка над символом означает производную по времени.

Элемент площади вращения

Пусть плоская дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AB}}}$ вращается вокруг оси ${\displaystyle OX}$. Тогда в трёхмерном пространстве получается поверхность вращения, площадь которой равна следующему выражению (сам. рис.):

${\displaystyle S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl}$,

где ${\displaystyle y}$ — ордината части ${\displaystyle AB}$ меридиана, ${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$ — элемент длины дуги меридиана, ${\displaystyle 2\pi y\,dl}$ — элемент площади вращения, ${\displaystyle (A)}$ и ${\displaystyle (B)}$ — крайние значения параметра ${\displaystyle t}$, через которые выражены координаты ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle y=y(t)}$^[32].

Вычислим площадь поверхности вращения. Разделим поверхность вращения ${\displaystyle ABB'A'}$ на параллельные кольца, а каждое кольцо ${\displaystyle MNN'M'}$ заменим на боковую поверхность усечённого конуса, сохранив основания. Так как площади поверхностей этих усечённых конусов эквивалентны, то площадь кольца ${\displaystyle MNN'M'}$

${\displaystyle S_{MNN'M'}\approx \pi (PM+QN)MN}$,

а поскольку

${\displaystyle PM+QN=2y+\Delta y}$,

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx MN=\Delta l}$

то

${\displaystyle S_{MNN'M'}\approx \pi (2y+\Delta y)\Delta l\approx 2\pi y\Delta l}$,

откуда и следует доказываемая формула^[32]:

${\displaystyle S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl}$.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении арки циклоиды

${\displaystyle x=a(t-\sin t),\quad }$ ${\displaystyle y=a(1-\cos t)}$

вокруг её основания. Сразу получаем^[33]:

${\displaystyle dl=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 2\pi .}$

${\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }2\pi a(1-\cos t)\cdot 2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt=}$

${\displaystyle =8\pi a^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{3}{\frac {t}{2}}\,dt={\frac {64}{3}}\pi a^{2}.}$

Сравним полученный результат с площадью осевого сечения, то есть с двойной площадью арки циклоиды ${\displaystyle 6\pi a^{2}}$, получим, что площадь поверхности вращения превышает площадь сечения в ${\displaystyle 3{\frac {5}{9}}}$ раза^[34].

Векторный элемент. Циркуляция

Обзорная статья: Циркуляция векторного поля

Рассмотрим в области ${\displaystyle \Omega }$ трёхмерного пространства векторное поле, которое задано вектор-функцией ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$, где ${\displaystyle M\in \Omega }$ — переменная точка. Циркуляцию векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой ${\displaystyle AB\subset \Omega }$ можно записать в виде криволинейного интеграла от скалярного произведения векторов

${\displaystyle \int _{AB}{\vec {a}}\,{\vec {e}}_{t}\,dl=\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}},\quad }$ ${\displaystyle {\frac {d{\vec {l}}}{dl}}={\vec {e}}_{t},}$

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{t}}$ — единичный вектор касательной к кривой ${\displaystyle AB}$ (и к дуге ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$) в точке ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle l}$ — длина части кривой ${\displaystyle AB}$ (дуги ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$), отсчитываемая от точки ${\displaystyle A}$ до переменной точки ${\displaystyle M\in AB}$, ${\displaystyle dl}$ и ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ — соответственно скалярный и векторный элементы длины части кривой ${\displaystyle AB}$ (дуги ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$)^[5][6][7][8].

В координатной форме, то есть в трёхмерной декартовой системе координат, получаем^[6]:

${\displaystyle \int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}}=\int _{AB}X\,dx+Y\,dy+Z\,dz}$.

Элемент циркуляции — векторное произведение ${\displaystyle {\vec {a}}\,d{\vec {l}}=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz}$^[35].

Если вектор-функцию ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$ интерпретировать как физическое силовое поле, то рассмотренная циркуляция такого векторного поля ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$ вдоль кривой ${\displaystyle AB}$ есть механическая работа силы поля вдоль пути ${\displaystyle AB}$^[5][35].

В электродинамике такие интегралы с ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ встречаются при вычислении циркуляций векторов напряжённости электрического и магнитного полей

${\displaystyle \oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}},\qquad \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}}$

по замкнутому контуру, фигурирующих, в частности, в двух из четырёх уравнений Максвелла.

Примечания

1. Полярные координаты, 1988.
2. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 572.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366.
4. Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195.
5. Иванов А. Б. Векторный анализ, 1988, с. 111.
6. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 245.
7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II, 1980, Глава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского, с. 174—175; 186; 199—200.
8. Циркуляция векторного поля, 1984.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 16.6. Плоские кривые, с. 274.
10. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 193.
11. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс, 1985, Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла. § 1. Длина дуги кривой. 5. Дифференциал дуги, с. 403.
12. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 570.
13. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 334. Схема применения определенного интеграла, с. 563.
14. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 451. Двойной интеграл, с. 761.
15. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366—367.
16. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 194.
17. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 367.
18. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 573.
19. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 574.
20. Цилиндрические координаты, 1988.
21. Сферические координаты, 1988.
22. Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты, 1985.
23. Соколов Д. Д. Сферические координаты, 1985.
24. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 573.
25. Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 19887, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195.
26. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 220, с. 511.
27. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 216, с. 498.
28. Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия, 1988, § 338. Длина дуги плоской линии, с. 195—196.
29. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493.
30. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 493—484.
31. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 215, с. 494.
32. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575.
33. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 575—576.
34. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 341. Площадь поверхности вращения, с. 576.
35. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 246.

Источники

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 189—197.
• Иванов А. Б. Векторный анализ // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 111—112.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. 3-е изд., испр. и доп. М.: «Наука», 1971. 599 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 1 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. 2-е изд., стереотипное. М.: «Наука», 1980. 447 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 2а / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. 2-е изд., перераб. / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с. с илл.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. 3-е изд., перераб. и доп. М.: «Наука», 1983. 464 с., ил.
• Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
• Соколов Д. Д. Сферические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 293.
• Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 819—820.
• Сферические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 572.
• Цилиндрические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 625.
• Циркуляция векторного поля // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 506—507.