Loading AI tools
Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.
В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки и , обозначается символом . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают или .
Направленный отрезок
Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки и представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки и не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.
Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.
Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству , где заранее заданные вещественные числа и называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа , удовлетворяющие неравенству , называются внутренними точками отрезка[1].
Отрезок обычно обозначается :
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- .
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0577d887fc5e9ffa8ecb4442e313c4559c313d2)
Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.
Число называется длиной числового отрезка .
Стягивающаяся система сегментов
Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой .
![{\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbfb0914e9fdbfbf65b43a7f64bd48f3a014276)
Система сегментов обозначается . Подразумевается, что каждому натуральному числу поставлен в соответствие отрезок .
![{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718338ceefd72e73db040f23b7ff29e7e286a68d)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30ce1f218c7164247ad32fbbcde76c02c817bd1)
Система сегментов называется стягивающейся, если[2]
- каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
- соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5b0056e44cda2c3edd5c1769529ce5feca62ad)
У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.
- где — квантор всеобщности.
![{\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade94f08e8ecbafac7d14626e235ae03ea945f9e)
Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности[3].
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
