Последовательность

Последовательность в математике — пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Обычно (особенно в математическом анализе) под последовательностью понимается бесконечная последовательность, при этом конечные последовательности в некоторых случаях также рассматриваются.

Наиболее часто изучаемый объект в классическом математическом анализе — числовая последовательность, в геометрии, в современных направлениях алгебры и анализа и приложениях изучаются также и нечисловые последовательности (например, последовательности элементов различных метрического пространства, временны́е ряды нечисловой природы, последовательности состояний систем управления и автоматов).

Формально последовательность определяется как отображение ${\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to X}$ множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в заданное множество ${\displaystyle X}$ (элементов множества ${\displaystyle X}$) произвольной природы. Образ натурального числа ${\displaystyle n}$, а именно элемент ${\displaystyle x_{n}=s(n)}$, называется ${\displaystyle n}$-м членом последовательности, а порядковый номер ${\displaystyle n}$ члена последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ — его индексом.Подмножество ${\displaystyle s\left[\mathbb {N} \right]}$ множества ${\displaystyle X}$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности. Существует ряд обобщений, позволяющих нумеровать последовательности не только натуральными числами➤.

Подпоследовательностью последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$ называется зависящая от ${\displaystyle k}$ последовательность ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$, где ${\displaystyle (n_{k})}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

Основные способы конструктивного задания последовательностей^[1] — аналитический, где формула определяет последовательность ${\displaystyle n}$-го члена, например: ${\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1}}}$, и рекуррентный, например числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}}$.

Основные вопросы, возникающие при изучении последовательностей:

• определение того, конечна или бесконечна данная последовательность (например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет);
• поиск закономерностей среди членов последовательности, поиск точной аналитической или рекуррентной формулы для последовательностей, определённых свойством;
• поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для ${\displaystyle n}$-го члена последовательности (например, для ${\displaystyle n}$-го простого числа неплохое приближение даёт формула: ${\displaystyle n\ln(n)}$, и существуют и более точные);
• прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу.

Примеры

Многочлен от одной переменной ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$ можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении ${\displaystyle a_{i}=0}$ при ${\displaystyle i>n}$.

Одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей является последовательность простых чисел.

Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа ${\displaystyle {\frac {13}{9}}}$ конечна и равна ${\displaystyle [1;2,4]}$, а цепная дробь числа ${\displaystyle \pi }$ уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: ${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}$.

Любое отображение множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в себя также является последовательностью.

В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.

Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на ${\displaystyle n}$-ой позиции находится множество всех многочленов степени ${\displaystyle n}$ с целыми коэффициентами от одной переменной.

Нотация

Последовательности вида:

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

${\displaystyle (x_{n})}$ или ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$.

Иногда используются фигурные скобки:

${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$.

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{N}}$.

Также последовательность может быть записана как:

${\displaystyle (f(n))}$,

если функция ${\displaystyle f}$ была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при ${\displaystyle f(n)=n^{3}}$ последовательность можно записать в виде ${\displaystyle (n^{3})}$.

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательности чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Вариации и обобщения

Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.

Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} }$. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ — Морса. Также многочлен от нескольких переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n}}$ можно рассматривать как конечную ${\displaystyle n}$-мерную последовательность, где на позиции ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n}}$ находится коэффициент при произведении ${\displaystyle x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{n}}}$.

Трансфинитная последовательность — последовательность, нумеруемая всеми порядковыми числами до заданного ординала.

См. также

• Иерархия
• Направленность (математика)

Примечания

1. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: справочные материалы (рус.). — Москва: Просвещение, 1988. — 416 с.

Литература

• Последовательность — статья из Математической энциклопедии. Л. Д. Кудрявцев
• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.