Элемент длины

Элеме́нт длины́'^[1] (англ. line element; length element) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, главная линейная часть приращения длины плоской кривой, то есть малый отрезок касательной к кривой в рассматриваемой точке. Синонимы: дифференциал длины дуги^[2], дифференциал дуги^[2][3], элемент дуги^[2].

Элемент длины

Обозначается ${\displaystyle dl}$ или^[2] ${\displaystyle ds}$. Часто представляется в векторной форме как

${\displaystyle d{\vec {l}}=dl\cdot {\vec {e}}_{l}}$,

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{l}}$ — единичный вектор вдоль касательной.

В декартовой системе координат элемент длины плоской кривой может выражаться формулой^{[2][3][4][5][6]}

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$.

Её правомерность видна из геометрических рассуждений. Пусть аргумент есть абсцисса ${\displaystyle x}$. Элемент длины ${\displaystyle dl}$ отвечает длине части ${\displaystyle MP}$ касательной к дуге^[англ.] от точки касания^[англ.] ${\displaystyle M}$ до пересечения ${\displaystyle P}$ с приращённой ординатой (см. рис.)^[2]. Дифференциал ${\displaystyle dx}$ равен ${\displaystyle MQ}$, дифференциал ${\displaystyle dy=QP}$, и по теореме Пифагора для ${\displaystyle dl=MP}$ получается выписанное выражение^[2]. По сути, формула приравнивает приращение касательной к дуге ${\displaystyle dl}$ к главной части приращения длины дуги ${\displaystyle \Delta l={\stackrel {\smile }{MN}}}$^[4].

Упомянутый единичный вектор есть не что иное, как ${\displaystyle {\vec {e}}_{l}=dx/dl\cdot {\vec {e}}_{x}+dy/dl\cdot {\vec {e}}_{y}}$, где ${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}$ — декартовы орты. Имеются варианты формул для неплоского случая и недекартовых систем.

Помимо чисто геометрических задач, связанных с расчётом длин, понятие «элемент длины» широко применяется при вычислении криволинейных интегралов, допустим, при расчёте работы вдоль пути или в случае вычисления циркуляции физического вектора (скажем, напряжённости магнитного поля) по некоему контуру.

Элемент длины в декартовых координатах

Двумерный (плоский) случай

Рассмотрим на плоскости параметрически заданную кривую ${\displaystyle L}$, определяемую в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=\varphi (t),\quad }$ ${\displaystyle y=\psi (t),}$

причём у функций ${\displaystyle \varphi (t)}$ и ${\displaystyle \psi (t)}$ производные непрерывны на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$. В силу формулы вычисления длины отрезка кривой длина ${\displaystyle l(t)}$ переменной дуги задаётся следующей формулой^[3]:

${\displaystyle l(t)=\int _{\alpha }^{t}{\sqrt {\varphi '^{2}(\tau )+\psi '^{2}(\tau )}}d\tau .}$

В этой формуле подынтегральная функция непрерывна, следовательно,

${\displaystyle l'(t)={\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}}$

по свойству интеграла с верхним переменным пределом. Обе части этого равенства возведём в квадрат и потом умножим на ${\displaystyle dt^{2}}$, получим:

${\displaystyle (l'(t)dt)^{2}=(\varphi '(t)dt)^{2}+(\psi '(t)dt)^{2},}$

откуда по причине того, что

${\displaystyle l'(t)dt=dl,\quad }$ ${\displaystyle \varphi '(t)dt=dx,\quad }$ ${\displaystyle \psi '(t)dt=dy,}$

окончательно получаем квадрат элемента длины^[3]:

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}.}$

Если в качестве параметра уравнений кривой взять длину ${\displaystyle l}$ переменной дуги (естественная параметризация), то есть положить

${\displaystyle x=g(l),\quad }$ ${\displaystyle y=h(l),}$

то тогда имеет место следующее равенство^[3]:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}=1.}$

Общий трёхмерный случай

Обобщая полученные результаты на трёхмерное пространство, получаем, что для параметрически заданной пространственной кривой ${\displaystyle L}$, определяемой в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=\varphi (t),\quad }$ ${\displaystyle y=\psi (t),\quad }$ ${\displaystyle z=\chi (t),}$

причём у функций ${\displaystyle \varphi (t)}$, ${\displaystyle \psi (t)}$ и ${\displaystyle \chi (t)}$ производные непрерывны на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$, верна следующая формула для квадрата элемента длины^[6][7][8]:

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.}$

Из этой формулы следует, что если в качестве параметра уравнений пространственной кривой взять длину ${\displaystyle l}$ переменной дуги, то есть положить

${\displaystyle x=g(l),\quad }$ ${\displaystyle y=h(l),\quad }$ ${\displaystyle z=k(l),}$

то тогда имеет место следующее равенство^[8][9]:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dl}}\right)^{2}=1.}$

Элемент длины в криволинейных координатах

Плоский случай, полярные координаты

Обзорная статья: Полярная система координат

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой^[10]:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.}$

Элемент длины в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть даны некоторая дуга и произвольная точка ${\displaystyle M}$ на ней (см. рис.). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат ${\displaystyle O}$) радиуса ${\displaystyle OM=\rho }$. Рассмотрим криволинейный треугольник ${\displaystyle MKN}$, образованный дугой окружности ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi }$, отрезком ${\displaystyle KN=\Delta \rho }$ и частью ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l}$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине ${\displaystyle K}$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}}$,

то есть в других обозначениях

${\displaystyle \Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги ${\displaystyle l}$ в полярной системе координат^[10].

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные^[11]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

${\displaystyle dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi }$,

${\displaystyle dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi }$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим^[11]:

${\displaystyle dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$.

Цилиндрическая и сферическая системы

Запись трёхмерного элемента длины в цилиндрических и сферических координатах представлена в таблице. Цилиндрическая запись при ${\displaystyle z=0}$ и сферическая при ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ превращаются в выражение для случая полярной системы^{[12][13][14][15]}.

Система координат	Пере­менные	Квадрат элемента длины	Коэффициенты Ламе
Декартова	${\displaystyle x,\,y,\,z}$	${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$	${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=1}$
Цилиндрическая	${\displaystyle \rho ,\,\varphi ,\,z}$	${\displaystyle dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}}$	${\displaystyle L_{\rho }=L_{z}=1,}$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho }$
Сферическая	${\displaystyle \rho ,\,\theta ,\,\varphi }$	${\displaystyle dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}+\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}}$	${\displaystyle L_{\rho }=1,}$ ${\displaystyle L_{\theta }=\rho ,}$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho \sin \theta }$

Некоторые несложные примеры расчёта

Для кривой ${\displaystyle y=x^{2}}$ имеем

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left|dy/dx\right|^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4y}}\,dx}$,

${\displaystyle {\vec {e}}_{l}={\frac {dx}{dl}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{dl}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {dx}{{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{{\sqrt {1+4y}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {{\vec {e}}_{x}}{\sqrt {1+4x^{2}}}}+{\frac {2x\,{\vec {e}}_{y}}{\sqrt {1+4y}}}}$.

Ещё пример: для исходящего из начала координат луча (${\displaystyle \theta =\theta _{0}=}$ const, ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}=}$ const) будет

${\displaystyle dl=d\rho ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=|\cos \theta _{0}|^{-1}\,dz}$,

${\displaystyle {\vec {e}}_{l}={\vec {e}}_{\rho }=\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{x}+\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{y}+\cos \theta _{0}\,{\vec {e}}_{z}}$.

И ещё: элемент длины циклоиды равен^[16]:

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=a{\sqrt {2(1-\cos t)}}dt=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 2\pi ,\quad a>0.}$

Векторный анализ и физическая интерпретация

Циркуляция векторного поля

Обзорная статья: Циркуляция векторного поля

Рассмотрим в области ${\displaystyle \Omega }$ трёхмерного пространства векторное поле, которое задано вектор-функцией ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$, где ${\displaystyle M\in \Omega }$ — переменная точка. Циркуляцию векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой ${\displaystyle AB\subset \Omega }$ можно записать в виде криволинейного интеграла от скалярного произведения векторов

${\displaystyle \int _{AB}{\vec {a}}{\vec {t}}\,dl=\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}},\quad }$ ${\displaystyle {\frac {d{\vec {l}}}{dl}}={\vec {t}},}$

где ${\displaystyle {\vec {t}}}$ — единичный вектор касательной к кривой ${\displaystyle AB}$ (и к дуге ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$) в точке ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle l}$ — длина части кривой ${\displaystyle AB}$ (дуги ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$), отсчитываемая от точки ${\displaystyle A}$ до переменной точки ${\displaystyle M\in AB}$, ${\displaystyle dl}$ и ${\displaystyle d{\vec {l}}}$ — соответственно скалярный и векторный элементы длины части кривой ${\displaystyle AB}$ (дуги ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{AM}}}$)^{[17][18][19][20]}.

В координатной форме, то есть в трёхмерной декартовой системе координат, получаем^[18]:

${\displaystyle \int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}}=\int _{AB}X\,dx+Y\,dy+Z\,dz}$.

Элемент циркуляции — векторное произведение ${\displaystyle {\vec {a}}\,d{\vec {l}}=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz}$^[21].

Если вектор-функцию ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$ интерпретировать как физическое силовое поле, то рассмотренная циркуляция такого векторного поля ${\displaystyle {\vec {a}}(M)}$ вдоль кривой ${\displaystyle AB}$ есть работа этого силового поля вдоль пути ${\displaystyle AB}$^[17][21].

Элемент длины в записи уравнений физики

Помимо чисто геометрических задач, понятие скалярного «элемента длины» широко применяется в физике при расчёте длины траектории частицы. Скажем, если траектория задана зависимостью радиус-вектора от времени ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}}$, то ${\displaystyle dx={\dot {x}}dt}$ (и так же для других компонент) и

${\displaystyle L[t_{0},\ldots t]=\int _{t_{0}}^{t}dl=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau }$,

где точка над символом означает производную по времени.

В электродинамике такие интегралы встречаются при вычислении циркуляций векторов напряжённости электрического и магнитного полей

${\displaystyle \oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}},\qquad \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}}$

по замкнутому контуру, фигурирующих, в частности, в двух из четырёх уравнений Максвелла.

Примечания

1. Полярные координаты, 1988.
2. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 572.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366.
4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 16.6. Плоские кривые, с. 274.
5. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 193.
6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс, 1985, Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла. § 1. Длина дуги кривой. 5. Дифференциал дуги, с. 403.
7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 366—367.
8. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I, 1983, § 6.7. Длина дуги кривой, с. 194.
9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I, 1971, Глава 11. Геометрические… § 1. Длина дуги кривой. 6. Дифференциал дуги, с. 367.
10. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 573.
11. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах, с. 574.
12. Цилиндрические координаты, 1988.
13. Сферические координаты, 1988.
14. Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты, 1985.
15. Соколов Д. Д. Сферические координаты, 1985.
16. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 339. Дифференциал дуги, с. 573.
17. Иванов А. Б. Векторный анализ, 1988, с. 111.
18. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Гава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 245.
19. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II, 1980, Гава 7. Формулы Грина, Стокса, Остроградского, с. 174—175; 186; 199—200.
20. Циркуляция векторного поля, 1984.
21. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Гава XIV. Векторное поле… § 3. Циркуляция поля… 2. Циркуляция вдоль линии, с. 246.

Источники

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
• Иванов А. Б. Векторный анализ // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 111—112.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. 3-е изд., испр. и доп. М.: «Наука», 1971. 599 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 1 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. 2-е изд., стереотипное. М.: «Наука», 1980. 447 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 2а / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. 2-е изд., перераб. / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с. с илл.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. 3-е изд., перераб. и доп. М.: «Наука», 1983. 464 с., ил.
• Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
• Соколов Д. Д. Сферические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 293.
• Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 819—820.
• Сферические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 572.
• Цилиндрические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 625.
• Циркуляция векторного поля // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 506—507.