Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями , где параметр — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна , а непоявления — . Наименование связано с тем, что вероятности убывают в геометрической прогрессии[1]. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри)[2]. Обозначение — .
Геометрическое распределение | |
---|---|
Обозначение | |
Параметры |
— число испытаний до первого появления события — вероятность появления события |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | неопределена |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Дифференциальная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной -му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при .
Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:
Одно из особенных свойств — отсутствие последствия (англ. memorylessness): для любых целых неотрицательных и условная вероятность геометрически распределённой случайная величины показывает независимость от предыдущих значений:
иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного[3].
Из всех дискретных распределений с носителем и фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
Геометрическое распределение бесконечно делимо.
Если геометрически распределённые случайные величины независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом[4]:
В игральных костях случайная величина , соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром , то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — , , соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром , равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при вероятность попадания при третьем выстреле равна [5].
Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания M/M/1[англ.] количество заявок на обслуживание распределено геометрически[6], и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования[7].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.