Геометрическое распределение

Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$, принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями ${\displaystyle p_{m}=\mathbb {P} \{X=m\}=p(1-p)^{m}}$, где параметр ${\displaystyle p}$ — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна ${\displaystyle p}$, а непоявления — ${\displaystyle 1-p}$. Наименование связано с тем, что вероятности ${\displaystyle p_{m}}$ убывают в геометрической прогрессии^[1]. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри)^[2]. Обозначение — ${\displaystyle X\sim \mathrm {Geom} (p)}$.

Геометрическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {Geom} (p)}$
Параметры	${\displaystyle n\geqslant 0}$ — число испытаний до первого появления события ${\displaystyle 0<p<1}$ — вероятность появления события
Носитель	${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,\dots \}}$
Функция вероятности	${\displaystyle p(1-p)^{n}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-(1-p)^{n+1}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$
Медиана	неопределена
Мода	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle -\log _{2}p-{\frac {1-p}{p}}\log _{2}(1-p)}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}};t<-\ln(1-p)}$
Характеристическая функция	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}}$

Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной ${\displaystyle k}$-му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при ${\displaystyle k=1}$.

Свойства

Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1-p}{p}}}$, ${\displaystyle \mathbb {D} [X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}$,

${\displaystyle P(t)={\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}}$,

${\displaystyle \phi _{X}(t)={\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}}$.

Одно из особенных свойств — отсутствие последствия (англ. memorylessness): для любых целых неотрицательных ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ условная вероятность геометрически распределённой случайная величины ${\displaystyle X}$ показывает независимость от предыдущих значений:

${\displaystyle \mathbb {P} \{X\geqslant m+n\mid X\geqslant m\}=\mathbb {P} \{X\geqslant n\}}$,

иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного^[3].

Из всех дискретных распределений с носителем ${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}}$ и фиксированным средним ${\displaystyle \mu >1}$ геометрическое распределение ${\displaystyle \mathrm {Geom} (1/\mu )}$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если геометрически распределённые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом^[4]:

${\displaystyle \min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})\right)}$.

Примеры и приложения

В игральных костях случайная величина ${\displaystyle X}$, соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром ${\displaystyle p=1/6}$, то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — ${\displaystyle 1/6}$, ${\displaystyle 1/6\cdot 5/6}$, ${\displaystyle 1/6\cdot (5/6)^{2}}$ соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром ${\displaystyle p}$, равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при ${\displaystyle p=0{,}6}$ вероятность попадания при третьем выстреле равна ${\displaystyle 0{,}4^{2}\cdot 0{,}6=0{,}096}$^[5].

Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания M/M/1^[англ.] количество заявок на обслуживание распределено геометрически^[6], и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования^[7].