Экспоненциальное распределение

Экспоненциа́льное (или показа́тельное^[1]) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E}}(\lambda )}$
Параметры	${\displaystyle \lambda >0}$ — интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \lambda ^{-1}}$
Медиана	${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$
Мода	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle \lambda ^{-2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 2}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 6}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}$

Определение

Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$, если её плотность вероятности имеет вид:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}}$.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно ${\displaystyle 1/\lambda }$. Сам параметр ${\displaystyle \lambda }$ тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины ${\displaystyle X}$ задана первым уравнением, и будем писать: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$.

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

${\displaystyle F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

${\displaystyle \mathrm {M} _{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{-1}}$,

откуда получаем все моменты:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}}$.

В частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$,

${\displaystyle \operatorname {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

Независимость событий

Пусть ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (X>s+t\mid X\geqslant s)=\mathbb {P} (X>t)}$.

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X^[2].
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})}$. Тогда^[3]:

${\displaystyle Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).}$

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$. Тогда:

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).}$

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$. Тогда:

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).}$

• Экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda =1/2}$ — это частный случай распределения хи-квадрат:

${\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).}$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
• Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$и ${\displaystyle Y=\max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\frac {X_{n}}{n}}}$. Тогда:

${\displaystyle P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n}.}$

Примечания

1. Андрей Рукосуев, Виктор Башлыков, Константин Балдин. Основы теории вероятностей и математической статистики. Учебник. — Litres, 2016-03-26. — С. 80. — 489 с. — ISBN 9785457365889.
2. Королюк, 1985, с. 135.
3. Виктор Каштанов, Алексей Медведев. Теория надежности сложных систем. — 2018. — С. 498. — 608 с.

Литература

• Королюк В. С., Портенко Н. И.,Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.