Скорость звука

Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде: как продольных (в газах, жидкостях или твёрдых телах), так и поперечных, сдвиговых (в твёрдых телах).

Скорость звука в различных средах^[1]

0 °C, 101325 Па	м/с	км/ч
Азот	333	1202,4
Аммиак	415	1494,0
Ацетилен	327	1177,2
Водород	1284	4622,4
Воздух	331	1191,6
Гелий	965	3474,0
Кислород	316	1137,6
Метан	430	1548,0
Угарный газ	338	1216,8
Неон	435	1566,0
Углекислый газ	259	932,4
Хлор	206	741,6
Жидкости
Вода	1403	5050,8
Ртуть	1383	4978,0
Твёрдые тела
Бериллий	12600	45360,0
Алмаз	12000	43200,0
Железо	5950	21420,0
Золото	3240	11664,0
Литий	6000	21600,0
Стекло	4800	17280,0

Определяется упругостью и плотностью среды: как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях — меньше, чем в твёрдых телах. Также в газах скорость звука зависит от температуры данного вещества, в монокристаллах — от направления распространения волны.

Обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды; в тех случаях, когда скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука.

История измерения скорости звука

Уже у античных авторов встречается указание на то, что звук обусловлен колебательным движением тела (Птолемей, Евклид). Аристотель отмечает, что скорость звука имеет конечную величину, и правильно представляет себе природу звука^[2]. Попытки экспериментального определения скорости звука относятся к первой половине XVII в. Ф. Бэкон в «Новом органоне» указал на возможность определения скорости звука путём сравнения промежутков времени между вспышкой света и звуком выстрела. Применив этот метод, различные исследователи (М. Мерсенн, П. Гассенди, У. Дерхам, группа учёных Парижской академии наук — Д. Кассини, Ж. Пикар, Гюйгенс, Рёмер) определили значение скорости звука (в зависимости от условий экспериментов, 350—390 м/с).

Теоретически вопрос о скорости звука впервые рассмотрел И. Ньютон в своих «Началах»; он фактически предполагал изотермичность распространения звука, поэтому получил заниженную оценку. Правильное теоретическое значение скорости звука было получено Лапласом^[3][4][5][6].

В 2020 году физики рассчитали максимально возможную скорость звука, которая составляет 36 км/с (этот показатель приблизительно втрое превышает скорость звука в алмазе (12 км/с), самом твёрдом известном материале в мире). Теория предсказывает наибольшую скорость звука в среде твёрдого атомарного металлического водорода, при давлении выше 1 млн атмосфер^[7][8].

Расчёт скорости звука в жидкости и газе

Аппроксимация скорости звука ${\displaystyle c}$ в зависимости от температуры в градусах Цельсия ${\displaystyle t}$ в сухом воздухе на основе показателя адиабаты ${\displaystyle (c=20{,}055{\sqrt {t+273{,}15}})}$ и 2 членов разложения корня квадратного в ряд Тейлора ${\displaystyle (c=331{,}5+0{,}6t)}$

Скорость звука в однородной жидкости (или газе) вычисляется по формуле:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{\beta \rho }}}.}$

В частных производных:

${\displaystyle c={\sqrt {-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{s}}}={\sqrt {-v^{2}{\frac {C_{p}}{C_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}}},}$

где ${\displaystyle \beta }$ — адиабатическая сжимаемость среды;

${\displaystyle \rho }$ — плотность;

${\displaystyle C_{p}}$ — изобарная теплоёмкость;

${\displaystyle C_{v}}$ — изохорная теплоёмкость;

${\displaystyle p}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle T}$ — давление, удельный объём и температура;

${\displaystyle s}$ — энтропия среды.

Для идеальных газов эта формула выглядит так:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}=\alpha {\sqrt {T}}={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}v}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты: 5/3 для одноатомных газов, 7/5 для двухатомных (и для воздуха), 4/3 для многоатомных;

${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана;

${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная;

${\displaystyle T}$ — абсолютная температура;

${\displaystyle m}$ — молекулярная масса;

${\displaystyle M}$ — молярная масса;

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma R}{M}}}}$;

${\displaystyle v}$ — средняя скорость теплового движения частиц газа.

По величине скорость звука в газах близка к средней скорости теплового движения молекул (см. Распределение Максвелла) и в приближении постоянства показателя адиабаты пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Данные выражения являются приближёнными, поскольку основываются на уравнениях, описывающих поведение идеального газа. При больших давлениях и температурах необходимо вносить соответствующие поправки.

Для расчёта сжимаемости многокомпонентной смеси, состоящей из невзаимодействующих друг с другом жидкостей и/или газов, применяется уравнение Вуда. Это же уравнение применимо и для оценки скорости звука в нейтральных взвесях.

Для растворов и других сложных физико-химических систем (например, природный газ, нефть) эти упрощённые выражения могут давать очень большую погрешность.

Влияние высоты на атмосферную акустику

Плотность и давление плавно уменьшаются с высотой, а температура (красный цвет) — нет. Скорость звука (синий цвет) зависит сложным образом от температуры на высоте и может быть рассчитана исходя из неё, поскольку влияние плотности и давления на скорость звука незначительно и зависит в основном от температуры. Скорость звука увеличивается с повышением высоты в двух областях стратосферы и термосферы из-за разогрева газа в этих областях.

В атмосфере Земли температура является главным фактором, влияющим на скорость звука. Для данного идеального газа с постоянной теплоемкостью и составом скорость звука зависит исключительно от температуры. В таком идеальном случае эффекты понижения плотности и понижения давления на высоте компенсируют друг друга, и на скорость звука влияет только температура.

Поскольку температура (и, следовательно, скорость звука) уменьшается с увеличением высоты до 11 км, звук преломляется вверх, удаляясь от слушателей на земле, создавая акустическую тень на некотором расстоянии от источника^[9]. Уменьшение скорости звука с высотой называется отрицательным градиентом скорости звука.

Однако выше 11 км в этой тенденции происходят изменения. В частности, в стратосфере на высоте более 20 км скорость звука увеличивается с высотой из-за повышения температуры в результате нагрева озонового слоя. Это дает положительный знак градиента скорости звука в этой области. Ещё одна область положительного градиента наблюдается на очень больших высотах, в слое называемом термосферой (лежащем выше 90 км).

Твёрдые тела

Смотрите также: P-волна

Смотрите также: S-волна

В однородных твёрдых телах могут существовать два типа объёмных волн, отличающихся друг от друга поляризацией колебаний относительно направления распространения волны: продольная (P-волна) и поперечная (S-волна). Скорость распространения первой ${\displaystyle (c_{P})}$ всегда выше, чем скорость второй ${\displaystyle (c_{S})}$:

${\displaystyle c_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )\rho }}},}$

${\displaystyle c_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\nu )\rho }}},}$

где ${\displaystyle K}$ — модуль всестороннего сжатия, ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига, ${\displaystyle E}$ — модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ — коэффициент Пуассона. Как и для случая с жидкой или газообразной средой, при расчётах должны использоваться адиабатические модули упругости.

В многофазных средах из-за явлений неупругого поглощения энергии скорость звука, вообще говоря, зависит от частоты колебаний (то есть наблюдается дисперсия скорости). Например, оценка скорости упругих волн в двухфазной пористой среде может быть выполнена с применением уравнений теории Био-Николаевского. При достаточно высоких частотах (выше частоты Био) в такой среде возникают не только продольные и поперечные волны, но также и продольная волна II-рода. При частоте колебаний ниже частоты Био, скорость упругих волн может быть приблизительно оценена с использованием гораздо более простых уравнений Гассмана.

При наличии границ раздела, упругая энергия может передаваться посредством поверхностных волн различных типов, скорость которых отличается от скорости продольных и поперечных волн. Энергия этих колебаний может во много раз превосходить энергию объёмных волн.

Скорость звука в воде

Скорость звука в чистой воде в зависимости от температуры в диапазоне от 0 до 100 °С. Даны экспериментальные точки и линия рассчитанная по эмпирической формуле, где скорость в м/с, температура в °С:
${\displaystyle c(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3},}$
${\displaystyle a_{0}=1404{,}34;~a_{1}=4{,}579692;}$
${\displaystyle a_{2}=-0{,}041224;~a_{3}=0{,}000093.}$

Зависимость скорости звука в океане от глубины (в районе к северу от Гавайских островов)

В чистой воде скорость звука составляет около 1500 м/с (см. опыт Колладона — Штурма) и увеличивается с ростом температуры.

Важное прикладное значение имеет также скорость звука в солёной воде океанов. Скорость звука увеличивается с увеличением солёности и температуры. При увеличении давления скорость также возрастает, то есть, увеличивается с глубиной. Предложено несколько различных эмпирических формул для вычисления скорости распространения звука в воде в зависимости от температуры, солёности и давления (глубины).

Например, формула Вильсона 1960 года для нулевой глубины даёт следующее значение скорости звука:

${\displaystyle c=1449,2+4,623\ T-0,0546\ T^{2}+1,39(S-35),}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость звука в метрах в секунду,

${\displaystyle T}$ — температура в градусах Цельсия,

${\displaystyle S}$ — солёность в промилле.

Иногда также пользуются упрощённой формулой Лероя:

${\displaystyle c=1492,9+3(T-10)-0,006(T-10)^{2}-0,04(T-18)^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ 1,2(S-35)-0,01(T-18)(S-35)+z/61,}$

где ${\displaystyle z}$ — глубина в метрах.

Эта формула обеспечивает точность около 0,1 м/с для ${\displaystyle T<+20}$ °C и при ${\displaystyle z<800}$ м.

При температуре +24 °C, солёности 35 промилле и нулевой глубине скорость звука равна около 1532,3 м/c. При ${\displaystyle T=+4}$ °C, глубине 100 м и той же солёности скорость звука равна 1468,5 м/с^[10].

Коэффициенты формулы ЮНЕСКО

Коэффициент	Значение	Коэффициент	Значение
${\displaystyle C_{00}}$	1402,388	${\displaystyle A_{02}}$	7,166·10−5
${\displaystyle C_{01}}$	5,03830	${\displaystyle A_{03}}$	2,008·10−6
${\displaystyle C_{02}}$	-5,81090·10−2	${\displaystyle A_{04}}$	-3,21·10−8
${\displaystyle C_{03}}$	3,3432·10−4	${\displaystyle A_{10}}$	9,4742·10−5
${\displaystyle C_{04}}$	-1,47797·10−6	${\displaystyle A_{11}}$	-1,2583·10−5
${\displaystyle C_{05}}$	3,1419·10−9	${\displaystyle A_{12}}$	-6,4928·10−8
${\displaystyle C_{10}}$	0,153563	${\displaystyle A_{13}}$	1,0515·10−8
${\displaystyle C_{11}}$	6,8999·10−4	${\displaystyle A_{14}}$	-2,0142·10−10
${\displaystyle C_{12}}$	-8,1829·10−6	${\displaystyle A_{20}}$	-3,9064·10−7
${\displaystyle C_{13}}$	1,3632·10−7	${\displaystyle A_{21}}$	9,1061·10−9
${\displaystyle C_{14}}$	-6,1260·10−10	${\displaystyle A_{22}}$	-1,6009·10−10
${\displaystyle C_{20}}$	3,1260·10−5	${\displaystyle A_{23}}$	7,994·10−12
${\displaystyle C_{21}}$	-1,7111·10−6	${\displaystyle A_{30}}$	1,100·10−10
${\displaystyle C_{22}}$	2,5986·10−8	${\displaystyle A_{31}}$	6,651·10−12
${\displaystyle C_{23}}$	-2,5353·10−10	${\displaystyle A_{32}}$	-3,391·10−13
${\displaystyle C_{24}}$	1,0415·10−12	${\displaystyle B_{00}}$	-1,922·10−2
${\displaystyle C_{30}}$	-9,7729·10−9	${\displaystyle B_{01}}$	-4,42·10−5
${\displaystyle C_{31}}$	3,8513·10−10	${\displaystyle B_{10}}$	7,3637·10−5
${\displaystyle C_{32}}$	-2,3654·10−12	${\displaystyle B_{11}}$	1,7950·10−7
${\displaystyle A_{00}}$	1,389	${\displaystyle D_{00}}$	1,727·10−3
${\displaystyle A_{01}}$	-1,262·10−2	${\displaystyle D_{10}}$	-7,9836·10−6

Международная стандартная формула, применяемая для определения скорости звука в морской воде известна как формула ЮНЕСКО и описана в работе^[11]. Она более сложная, чем простые формулы, приведённые выше, и вместо глубины в неё входит давление как параметр. Оригинальный алгоритм ЮНЕСКО для расчётов по формуле описан в работе N. P. Fofonoff и R. C. Millard^[12].

В 1995 году коэффициенты, применяемые в данной формуле были уточнены^[13] после принятия международной температурной шкалы 1990 года. Конечная форма формулы ЮНЕСКО имеет следующий вид, входящие в формулу постоянные коэффициенты согласно^[13] приведены в таблице:

${\displaystyle c(S,T,P)=C_{w}(T,P)+A(T,P)S+B(T,P)S^{3/2}+D(T,P)S^{2},}$

где ${\displaystyle C_{w}(T,P)=C_{00}+C_{01}T+C_{02}T^{2}+C_{03}T^{3}+C_{04}T^{4}+C_{05}T^{5}\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{10}+C_{11}T+C_{12}T^{2}+C_{13}T^{3}+C_{14}T^{4})P\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{20}+C_{21}T+C_{22}T^{2}+C_{23}T^{3}+C_{24}T^{4})P^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{30}+C_{31}T+C_{32}T^{2})P^{3},}$

${\displaystyle A(T,P)=A_{00}+A_{01}T+A_{02}T^{2}+A_{03}T^{3}+A_{04}T^{4}\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{10}+A_{11}T+A_{12}T^{2}+A_{13}T^{3}+A_{14}T^{4})P\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{20}+A_{21}T+A_{22}T^{2}+A_{23}T^{3})P^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{30}+A_{31}T+A_{32}T^{2})P^{3},}$

${\displaystyle B(T,P)=B_{00}+B_{01}T+(B_{10}+B_{11}T)P,}$

${\displaystyle D(T,P)=D_{00}+D_{10}P.}$

Здесь ${\displaystyle T}$ — температура в градусах Цельсия (в диапазоне от 0 °С до 40 °С),

${\displaystyle S}$ — солёность в промилле (в диапазоне от 0 до 40 промилле),

${\displaystyle P}$ — давление в барах (в диапазоне от 0 до 1000 бар).

В библиотеке приводится исходный код алгоритма ЮНЕСКО на языке C#.

См. также

Скорость звука

• Скорость света
• Эффект Доплера
• Сверхзвуковая скорость
• Сверхзвуковой самолёт
• Звуковой барьер
• Число Маха
• Гиперзвуковая скорость
• Сейсмическая волна

Примечания

1. Скорость звука // под. ред. А. М. Прохорова Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 4. Архивировано 9 марта 2011 года.
2. Тимкин С. История естествознания
3. The Speed of Sound  (неопр.). mathpages.com. Дата обращения: 3 мая 2015. Архивировано 25 июля 2020 года.
4. Bannon, Mike; Kaputa, Frank The Newton–Laplace Equation and Speed of Sound  (неопр.). Thermal Jackets. Дата обращения: 3 мая 2015. Архивировано 15 августа 2020 года.
5. Murdin, Paul. Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth (англ.). — Springer Science & Business Media, 2008. — P. 35—36. — ISBN 9780387755342.
6. Fox, Tony. Essex Journal (неопр.). — Essex Arch & Hist Soc, 2003. — С. 12—16.
7. Скорость звука: каков ее предел? / Блог компании ua-hosting.company / Хабр  (неопр.). Дата обращения: 26 декабря 2020. Архивировано 3 декабря 2020 года.
8. Источник  (неопр.). Дата обращения: 26 декабря 2020. Архивировано 30 декабря 2020 года.
9. Everest, F. The Master Handbook of Acoustics. — New York : McGraw-Hill, 2001. — P. 262–263. — ISBN 978-0-07-136097-5.
10. Роберт Дж. Урик (Rodert J. Urick) Основы гидроакустики (Principles of underwater sound) Л: Судостроение, 1978; McGraw-Hill 1975.
11. Chen‐Tung Chen, Frank J. Millero. Speed of sound in seawater at high pressures (англ.) // Journal of the Acoustical Society of America^[англ.]. — 1977-11-01. — Vol. 62, iss. 5. — P. 1129—1135. — ISSN 0001-4966. — doi:10.1121/1.381646. Архивировано 5 августа 2019 года.
12. Millard R. C., Jr; Fofonoff N. P. Algorithms for the computation of fundamental properties of seawater (англ.). — 1983. Архивировано 5 августа 2019 года.
13. George S. K. Wong, Shi‐ming Zhu. Speed of sound in seawater as a function of salinity, temperature, and pressure (англ.) // Journal of the Acoustical Society of America^[англ.]. — 1995-03-01. — Vol. 97, iss. 3. — P. 1732—1736. — ISSN 0001-4966. — doi:10.1121/1.413048. Архивировано 5 августа 2019 года.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1953;
• Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П., Основы молекулярной акустики, М., 1964;
• Колесников А. Е., Ультразвуковые измерения, М., 1970;
• Исакович М. А., Общая акустика, М., 1973.

Ссылки

• Вычисление скорости звука
• Таблицы скоростей звука
• Акустические свойства различных материалов и скорости звука в них