P-волна

Р-волны — упругие продольные волны, вызывающие колебания элементарных частиц упругой среды в направлении распространения волны и создающие в среде объёмные деформации сжатия—растяжения^[1](Рисунок 1). Самые быстрые среди объёмных волн, поэтому получили название «P-волны» от латинского «prima» — первичные. Способны распространяться в твердых телах, жидкостях и газах.

Рисунок 1. Движение в продольной волне

Основные свойства

Рисунок 2. Поляризация Р-волны и направление волнового вектора

Решение волнового уравнения для плоской гармонической Р-волны:

$${\displaystyle u_{p}=A{\begin{pmatrix}\sin {i}\\0\\-\cos {i}\end{pmatrix}}exp\left(i\omega \left({\frac {\sin {i}}{v_{p}}}x-{\frac {\cos {i}}{v_{p}}}z-t\right)\right)}$$

Скорость P-волн в однородной изотропной среде равна:

$${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {M}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )\rho }}},}$$

где ${\displaystyle E}$ — модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ — коэффициент Пуассона, K — объёмный модуль, ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига (также обозначаемый как ${\displaystyle \mu }$ — второй параметр Ламе), ${\displaystyle \rho }$ — плотность среды, через которую проходит волна, ${\displaystyle \lambda }$ — первый параметр Ламе, ${\displaystyle M}$ — упругий модуль P-волны, определяемый как

$${\displaystyle M=K+{\frac {4}{3}}G}$$Типичные значения для скоростей Р-волн, определяемых при землетрясениях находятся в диапазоне от 5 до 13 км/с, при расчётах должны использоваться адиабатические модули упругости

Рисунок 3. Сейсмограмма землетрясения

Преломление Р-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. Пусть Р-волна падает из среды 1 в среду 2, что видно на рисунке 4, векторами на рисунке обозначено направление смещения соответствующих волн.

Рисунок 4. Падение P-волны на границу двух полупространств

На границе S двух однородных сред получаем два граничных условия

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{-}}=\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{+}},}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{-}}={\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{+}},}$

где n — вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство векторов напряжений с обеих сторон ${\displaystyle S_{+}}$ и ${\displaystyle S_{-}}$ на границе.

Если Р-волна преломляется на границе, то возникает четыре волны: отражённая и проходящая волна P и отражённая и прошедшая волна SV.

Преломление Р-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остаётся только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S}=0.}$

Тогда в случае Р-волны, где А — это амплитуда падающей волны, ${\displaystyle c_{s}}$ — скорость поперечной волны в среде, ${\displaystyle c_{p}}$ — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды P, j — угол отражения моды S от моды P, получаем${\displaystyle k_{ps}=A{\frac {2c_{p}/c_{s}\sin 2j\cos 2i}{(c_{p}/c_{s})^{2}\cos ^{2}2j+\sin 2j\sin 2i}},}$

${\displaystyle k_{pp}=-A{\frac {(c_{p}/c_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)-\sin(2j)\sin(2i)}{(c_{p}/c_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)+\sin(2j)\sin(2i)}}.}$

${\displaystyle k_{ps}}$ — это коэффициент отражения моды S от моды P, ${\displaystyle k_{pp}}$ — это коэффициент отражения моды P от моды P.

Затенённая зона P-волн

Затененная зона P-волн

Сейсмологи обычно измеряют расстояния от эпицентра землетрясения в градусах: расстояние от нужной точки земной поверхности до эпицентра рассматривается в виде угла между направлением из центра Земли на эпицентр и направлением из центра Земли на данную точку. Было замечено, что в диапазоне углов от 103° до 142° от эпицентра P-волны практически незаметны, это затенённая зона P-волн. Как установил Р. Д. Олдхэм^[англ.] в 1906 году, это происходит из-за преломления P-волн на границе земного ядра^[2].

См. также

• S-волна
• Продольные волны
• Сейсмические волны
• Скорость звука

Примечания

1. А. Вартанов. Физико-технический контроль и мониторинг при освоении подземного пространства городов. — Litres, 2017-09-26. — 548 с. — ISBN 978-5-04-081643-9. Архивировано 15 января 2022 года.
2. Эйби, 1982, с. 37.

Литература

• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. — Москва: Наука, т. 7, 1965
• Яновская Т. Б. Основы сейсмологии.-ВВМ, 2006
• Аки К.,Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы.-М.:Мир,1983
• Сейсморазведка. Справочник геофизика./Под ред. И. И. Гурвича, В. П. Номоконова.- Москва: Недра,1981
• Эйби Дж. А. Землетрясения = Earthquakes. — М.: Недра, 1982. — 50 000 экз.