Объёмный модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости (другие названия: модуль объёмного сжатия, модуль всестороннего сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление величиной 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20 000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa»)^[1].

Определение

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

${\displaystyle K=-V{\frac {dp}{dV}},}$

где ${\displaystyle p}$ — давление, а ${\displaystyle V}$ — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия.

Можно показать, что в случае изотропного тела модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга ${\displaystyle E}$, коэффициент Пуассона ${\displaystyle \nu }$, модуль сдвига ${\displaystyle G}$, первый параметр Ламэ ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}.}$

${\displaystyle K={\frac {EG}{3(3G-E)}}.}$

${\displaystyle K={\frac {E+3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{6}}.}$

${\displaystyle K={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}.}$

${\displaystyle K={\frac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}.}$

${\displaystyle K=\lambda +{\frac {2G}{3}}.}$

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический ${\displaystyle K_{T}}$), при постоянной энтропии (адиабатический ${\displaystyle K_{S}}$) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {const} }{V}}}$ следует:

${\displaystyle K_{T}=P\,.}$

Используя уравнение адиабаты ${\displaystyle p\,\cdot V^{\gamma }=\mathrm {const} ,}$ можно получить

${\displaystyle K_{S}=\gamma P,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K и плотность ρ определяют скорость звука c (волны давления^[англ.]), согласно формуле Ньютона — Лапласа

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

Измерение

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции, акустополяризационного метода (для твёрдых сред).

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

Материал	Объёмный модуль упругости в ГПа
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	от 35 до 55
Сталь	160
Алмаз[2]	442

Влияние некоторых примесей, добавляемых в стекло, на его объёмный модуль упругости^[3]

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Вода	2,2⋅109 Па[1] (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух	1,42⋅105 Па (адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух	1,01⋅105 Па (изотермический объёмный модуль упругости)
Твёрдый гелий	5⋅107 Па[4] (приблизительно)