Показатель адиабаты

Иное название этого понятия — «коэффициент Пуассона»; о параметре, характеризующем упругие свойства материала, см. Коэффициент Пуассона.

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении (${\displaystyle C_{P}}$) к теплоёмкости при постоянном объёме (${\displaystyle C_{V}}$). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой ${\displaystyle \gamma }$ (гамма) или ${\displaystyle \kappa }$ (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква ${\displaystyle k}$^[1].

Уравнение:

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}},}$

где

${\displaystyle C}$ — теплоёмкость газа,

${\displaystyle c}$ — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,

индексы ${\displaystyle _{P}}$ и ${\displaystyle _{V}}$ обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша (1854)^[2][3]:

${\displaystyle \gamma ={\frac {\chi _{t}}{\chi _{s}}},}$

где ${\displaystyle \chi _{t}}$ и ${\displaystyle \chi _{s}}$ — изотермический и адиабатический (изоэнтропический) коэффициенты всестороннего сжатия.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент. Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо дополнительно подвести примерно 40 % (для двухатомного газа — воздуха) от того количества теплоты, что было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру при закреплённом поршне, пропорционально ${\displaystyle C_{V}}$, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально ${\displaystyle C_{P}}$. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1,4.

Другой путь для понимания разницы между ${\displaystyle C_{P}}$ и ${\displaystyle C_{V}}$ состоит в том, что ${\displaystyle C_{P}}$ применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). ${\displaystyle C_{V}}$ применяется только если ${\displaystyle PdV}$ — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

показатели адиабаты для различных температур и газов[4][5]
темп.	газ	${\displaystyle \gamma }$		темп.	газ	${\displaystyle \gamma }$		темп.	газ	${\displaystyle \gamma }$
20 °C	He	1,660		20 °C	NO	1,400		20 °C	H2O	1,330
19 °C	Ne	1,640		−181 °C	O2	1,450		100 °C		1,324
−180 °C	Ar	1,760		−76 °C		1,415		200 °C		1,310
20 °C		1,670		20 °C		1,400		0 °C	сухой воздух	1,403
19 °C	Kr	1,680		100 °C		1,399		20 °C		1,400
19 °C	Xe	1,660		200 °C		1,397		100 °C		1,401
360 °C	Hg	1,670		400 °C		1,394		200 °C		1,398
−181 °C	H2	1,597		20 °C	CO	1,400		400 °C		1,393
−76 °C		1,453		20 °C	Cl2	1,340		1000 °C		1,365
20 °C		1,410		0 °C	CO2	1,310		2000 °C		1,088
100 °C		1,404		20 °C		1,300		15 °C	SO2	1,290
400 °C		1,387		100 °C		1,281		−115 °C	CH4	1,410
1000 °C		1,358		400 °C		1,235		−74 °C		1,350
2000 °C		1,318		1000 °C		1,195		20 °C		1,320
−181 °C	N2	1,470		15 °C	NH3	1,310		15 °C	C2H6	1,220
15 °C		1,404		20 °C	N2O	1,310		16 °C	C3H8	1,130

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как ${\displaystyle H=C_{P}T}$ и внутренняя энергия может быть представлена как ${\displaystyle U=C_{V}T}$. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

${\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}.}$

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (${\displaystyle \gamma }$) и универсальную газовую постоянную (${\displaystyle R}$):

${\displaystyle C_{P}=\nu {\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad C_{V}=\nu {\frac {R}{\gamma -1}}.}$

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях ${\displaystyle C_{V}}$, в то время как табличные значения ${\displaystyle C_{P}}$ приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения ${\displaystyle C_{V}}$:

${\displaystyle C_{V}=C_{P}-\nu R,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — количество вещества в молях. Для молярных теплоёмкостей, соответственно,

${\displaystyle C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}},\qquad C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}}=C_{P}-R.}$

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты (${\displaystyle \gamma }$) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (${\displaystyle i}$) молекул газа:

${\displaystyle \gamma ={\frac {i+2}{i}}\qquad }$ или ${\displaystyle \qquad i={\frac {2}{\gamma -1}}.}$

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

${\displaystyle \gamma ={\frac {5}{3}}\approx 1{,}67,}$

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1{,}4.}$

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

${\displaystyle \gamma ={\frac {6+2}{6}}={\frac {4}{3}}\approx 1{,}33.}$

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N₂, и около 21 % кислорода — O₂), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

${\displaystyle \gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1{,}4.}$

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1,403 (приведённое выше в таблице).

Соотношения для реальных газов

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты ${\displaystyle \gamma }$.

Для реальных газов, как ${\displaystyle C_{P}}$, так и ${\displaystyle C_{V}}$ возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле ${\displaystyle C_{P}}$ = ${\displaystyle C_{V}+R}$), и эта разность отражает постоянство величины ${\displaystyle PV}$, то есть работы, совершаемой при расширении. Величина ${\displaystyle P\cdot V}$ представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, ${\displaystyle \gamma }$, падает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, ${\displaystyle C_{p}-C_{v}=R}$), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения ${\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{v}}}}$ может быть вычислено путём определения ${\displaystyle C_{v}}$ из свойств, выраженных как:

${\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}.}$

Значения ${\displaystyle C_{p}}$ не составляет труда измерить, в то время как значения для ${\displaystyle C_{v}}$ необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь^[англ.] для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона^[англ.]), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений ${\displaystyle C_{v}}$. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс

См. также: Политропный процесс

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}$

где ${\displaystyle P}$ — это давление и ${\displaystyle V}$ — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим^[6], показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты; ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана; ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная; ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура в кельвинах; ${\displaystyle m}$ — молекулярная масса; ${\displaystyle M}$ — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.^[7]

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединённый с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатический процесс. Со временем давление в баллоне начнёт уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра ${\displaystyle h_{1}}$.

2-й этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнёт увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнёт нагреваться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра ${\displaystyle h_{2}}$. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчётной формуле для искомой величины:

${\displaystyle \gamma ={h_{1} \over {h_{1}-h_{2}}}.}$

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счёт учёта времени расширения и количества подведенного за это время тепла.^[8]

См. также

• Теплоёмкость
• Удельная теплоёмкость
• Скорость звука
• Термодинамические уравнения^[англ.]
• Термодинамика
• Объёмная теплоёмкость

Примечания

1. Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics 6th ed. Wiley
2. Толпыго К. Б., Термодинамика и статистическая физика, 1966, с. 83.
3. Партингтон Дж. Р., Раковский А. В., Курс химической термодинамики, 1932, с. 41.
4. White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
5. Lange’s Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524
6. Савельев, 2001, с. 30—32.
7. physdep.isu.ru
8. physchem.msu.ru (недоступная ссылка)

Литература

• Партингтон Дж. Р., Раковский А. В. Курс химической термодинамики / Пер. с англ. Я. В. Герасимова, проработка и дополнения проф. А. В. Раковского. — 2-е изд., стереотипное. — М.—Л.: Госхимтехиздат, 1932. — 383 с.
• Толпыго К. Б. Термодинамика и статистическая физика. — Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1966. — 364 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики: Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.