![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/langru-640px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png&w=640&q=50)
Порядковое число
порядковый тип вполне упорядоченного множества / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Порядковое число?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/640px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png)
Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой.[1] Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.
Множества и
обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию
, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому
из
соответствует единственное
из
, а каждое
из
является образом единственного
из
).
Предположим, что на множествах и
заданы частичные порядки
и
соответственно. Тогда частично упорядоченные множества
и
называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение
, при котором заданный порядок сохраняется. Иначе говоря,
тогда и только тогда, когда
. Любое вполне упорядоченное множество
изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу
).
Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число отождествляется с кардинальным числом
. Однако в случае трансфинитных чисел, больших
, ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным
, число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:
В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, совпадает с
, но отличается от
; аналогично
, но не равно
. Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число
, соответствующее кардинальному числу
(следующее число после
). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».
Обычно произвольный ординал определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших
.
Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого.
Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью).
Для заданного класса порядковых чисел можно указать его
-й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать).
Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней
.
Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например,
.
Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию.
Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен .
Подмножество
будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит
в качестве элемента.