Loading AI tools
плоская кривая второго порядка Из Википедии, свободной энциклопедии
Пара́бола (греч. παραβολή — приближение[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.
Парабола | |
---|---|
Парабола как коническое сечение | |
Парабола, её фокус и директриса | |
Эксцентриситет | |
Уравнения | |
Другие конические сечения | |
|
Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)[2].
Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
Вывод |
---|
Уравнение директрисы PQ: , фокус F имеет координаты Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку и , то равенство приобретает вид: После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение |
Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение может быть представлено в виде а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.
Парабола в полярной системе координат с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением
где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)
Парабола в подерной системе координат с центром в фокусе и параметром , равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением[4]:
Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, известны координаты трёх различных точек параболы то его коэффициенты могут быть найдены так:
Если же заданы вершина и старший коэффициент , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:
Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости[6].
Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде[6]:
где — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.
Тогда подера произвольной параболы относительно произвольного полюса есть дефективная гипербола с двойной точкой , асимптотой и следующим уравнением[7][6]:
Другими словами, имеет место следующее утверждение[7]:
Найдём вещественное неявное уравнение подеры параболы относительно полюса . Текущая точка кривой — .
Уравнение касательной к параболе запишем в виде
а уравнение нормали, проходящей через полюс , —
Уберём , получим искомое уравнение:
Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями[6][7]:
Графики степенной функции при натуральном показателе называются параболами порядка [10][11]. Ранее рассмотренное определение соответствует то есть параболе 2-го порядка.
Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при ;
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.