при гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные[1].
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы.
Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерномпространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
а площади их поверхностей соотносятся как
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.
Подробнее сфера ( ...
Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность
1 (длина)
2 (площадь)
3 (объём)
4
5
6
7
8
Единичная
сфера ()
Десятичная
запись
6.2832
12.5664
19.7392
26.3189
31.0063
33.0734
32.4697
29.6866
Единичный
шар ()
Десятичная
запись
2.0000
3.1416
4.1888
4.9348
5.2638
5.1677
4.7248
4.0587
Закрыть
В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для -мерного шара размерность его «объёма» также равна , а размерность его «площади» — .
Отношение объёма -мерного шара к объёму описанного вокруг него -куба быстро уменьшается с ростом , быстрее, чем .
В этом разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром — n-мерный гипершар, то есть , .
Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.
Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса