CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это одноточечное пространство). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.^[1][2]

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xⁿ или sk_n X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:^[3]

• начинаем с дискретного множества ${\displaystyle X^{0}}$, точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:S^{n-1}\to X^{n-1}.}$ Другими словами, пространство ${\displaystyle X^{n}}$ — это факторпространство несвязного объединения ${\displaystyle X^{n-1}}$ и набора шаров ${\displaystyle D_{\alpha }}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle x\sim \varphi _{\alpha }(x),}$ если ${\displaystyle x\in \partial D_{\alpha }.}$
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив ${\displaystyle X=X^{n},}$ либо продолжать его бесконечно, положив ${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$^[4]. Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество ${\displaystyle \varinjlim X_{i}}$ замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым ${\displaystyle X_{i}.}$

Примеры

• Пространство ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C} }$ гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n}}$ делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы ${\displaystyle S^{\infty }}$.
• Вещественное проективное пространство^[англ.] ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$ — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

${\displaystyle \cdots \to {H_{n+1}}(X^{n+1},X^{n})\to {H_{n}}(X^{n},X^{n-1})\to {H_{n-1}}(X^{n-1},X^{n-2})\to \cdots ,}$

где ${\displaystyle X^{-1}}$ определяется как пустое множество.

Группа ${\displaystyle {H_{n}}(X^{n},X^{n-1})}$ является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ — произвольная n-мерная клетка ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong S^{n-1}\to X^{n-1}}$ — ограничение её характеристического отображения на границу, а ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:S^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X^{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{n-1}/\left(X^{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{n-1},}$

где первое отображение отождествляет ${\displaystyle S^{n-1}}$ с ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha },}$ отображение ${\displaystyle q}$ — факторизация, а последнее отображение отождествляет ${\displaystyle X^{n-1}/\left(X^{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ с ${\displaystyle S^{n-1}}$ при помощи характеристического отображения клетки ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$. Тогда граничное отображение

${\displaystyle d_{n}:{H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

задаётся формулой

${\displaystyle {d_{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

где ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ — степень отображения ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам ${\displaystyle X}$.

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, ${\displaystyle {H_{n}}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$ для чётных ${\displaystyle n}$ и нулю для нечётных.

Свойства

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии.^[5] Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда^[англ.] (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс.^[6] Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости^[англ.]). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс^[7]. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора^[8], гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

Примечания

1. Уайтхед, 1949, p. 214.
2. Фоменко, Фукс, 1989, с. 35.
3. Хатчер, 2011, с. 14.
4. См. статью прямой предел.
5. Например, см. Д. О. Баладзе. Клеточное разбиение — статья из Математической энциклопедии.
6. Хатчер, 2011, с. 445-446.
7. Martin Arkowitz. Introduction to Homotopy Theory. — Springer, 2011. — С. 302. — ISBN 9781441973290.
8. Milnor, John. On spaces having the homotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1959. — Т. 90. — С. 272–280.

Литература

• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. I. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 213–245.
• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. II. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 453–496.
• Хатчер, А. Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.
• А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с.