Spirală sinusoidală

În geometria algebrică spiralele sinusoidale sunt o familie de curbe definite de ecuația în coordonate polare^[1]

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )}$

Spirale sinusoidale (rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) în coordonate polare și echivalentele lor în coordonate carteziene:                      n = −2: Hiperbolă echilaterală                      n = −1: Dreaptă                      n = −1/2: Parabolă                      n = 1/2: Cardioidă                      n = 1: Cerc                      n = 2: Lemniscata lui Bernoulli

unde a este o constantă diferită de zero, iar n este un număr rațional altul decât 0. Cu o rotație în jurul originii, aceasta poate fi de asemenea scrise

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).}$

Termenul de „spirală” este o denumire greșită, deoarece de fapt nu sunt spirale^⁠(d), ci adesea au o formă asemănătoare unei rozete^⁠(d). Multe curbe bine-cunoscute sunt spirale sinusoidale, de exemplu:

• Hiperbola echilaterală (n = −2)
• Dreapta (n = −1)
• Parabola (n = −1/2)
• Cubica Tschirnhausen (n = −1/3)
• Sextica lui Cayley (n = 1/3)
• Cardioida (n = 1/2)
• Cercul (n = 1)
• Lemniscata lui Bernoulli (n = 2)

Această familie de curbe a fost studiată pentru prima oară de Colin Maclaurin.

Ecuații

Prin derivarea lui

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )}$

și eliminarea lui a se obține ecuația diferențială în r și θ:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0}$.

Atunci

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$

care implică faptul că unghiul tangențial polar este

${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$

și deci unghiul tangențial este

${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2}$.

(Semnul de aici este pozitiv dacă r și cos nθ au același semn și negativ în caz contrar.)

Comparând versorul tangent

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)}$,

cu mărimea vectorilor de pe fiecare parte a ecuației de mai sus se obține

${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$.

În particular, lungimea unei singure bucle când ${\displaystyle n>0}$ este:

${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }$

Curbura este

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta }$.

Proprietăți

Inversa unei spirale sinusoidale în raport cu un cerc cu centrul în origine este o altă spirală sinusoidală a cărei valoare a lui n este negativul valorii curbei originale a lui n. De exemplu, inversa lemniscatei lui Bernoulli este o hiperbolă dreptunghiulară.

Isoptica^⁠(d), podara și podara negativă ale unei spirale sinusoidale sunt spirale sinusoidale diferite.

Traiectoria unei particule asupra căreia acționează o forță centrală proporțională cu o putere a lui r este o spirală sinusoidală.

Când n este un număr întreg și punctele n sunt aranjate regulat pe un cerc cu raza a, atunci mulțimea punctelor aranjate astfel încât media geometrică a distanțelor de la punct la n formează o spirală sinusoidală. În acest caz, spirala sinusoidală este o lemniscată polinomială.