Curbură

Curbura (din latină: curvatura, "îndoitură") unui obiect geometric este o măsură cantitativă ce exprimă proprietatea de a nu fi rectiliniu pentru orice punct al figurii respective.

Astfel, pentru o curbă, curbura într-un punct M al acesteia este limita raportului dintre unghiul ${\displaystyle \Delta \alpha }$ format de tangentele la curbă în două puncte, M și M, când punctul M tinde către M:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}.}$

Inversul curburii (ρ) se numește rază de curbură. Cercul de rază ρ, tangent curbei în M, situat spre concavitatea curbei, este cercul de curbură.

Pentru calculul curburii într-un punct al unei curbe plane, definite prin ecuațiile parametrice: ${\displaystyle x=x(t),\;y=y(t),}$ se utilizează formula:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}},}$

formulă pe care Isaac Newton a descoperit-o în 1670.

Pentru o curbă plană definită prin ${\displaystyle y=y(x):}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}.}$

Pentru o curbă plană definită prin ecuația în coordonate polare ${\displaystyle r=r(\theta ):}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}.}$

În cazul unei curbe strâmbe definite prin ecuațiile parametrice:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}}$

curbura este dată de:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {[(y'z''-z'y'')^{2}+(z'x''-x'z'')^{2}+(x'y''-y'x'')^{2}]^{\frac {1}{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}.}$

Primul exemplu de curbă cu dublă curbură l-a furnizat Archytas.