Sextica lui Cayley

În geometria algebrică sextica lui Cayley este o curbă plană, un membru al familiei de spirale sinusoidale, discutată pentru prima dată de Colin Maclaurin în 1718. Arthur Cayley a fost primul care a studiat curba în detaliu și a fost numită după el în 1900 de către Raymond Clare Archibald.^[1]

Sextica lui Cayley

Curba este simetrică în raport cu axa Ox (y = 0) și se autointersectează în ${\displaystyle y=0,x=a/8}$. Alte intersecții cu axa Ox sunt în origine și în ${\displaystyle (a,\,0),}$ iar cu axa Oy în ${\displaystyle \pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}a.}$^[1]

Curba este podara (ruleta) cardioidei față de punctul său de întoarcere.^[1]

Este o curbă trisectoare.

Ecuațiile curbei

Ecuația curbei în coordonate polare este^[1][2]

${\displaystyle r=4a\cos ^{3}{\frac {\pi }{3}}}$

În coordonate carteziene ecuația este^[1][3]

${\displaystyle 4\left(x^{2}+y^{2}-{\frac {a}{4}}x\right)^{3}=27\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Sextica lui Cayley poate fi pusă în formă parametrică (ca o funcție periodică cu perioada ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$) prin ecuațiile

${\displaystyle x=\cos ^{3}t\cos 3t}$

${\displaystyle y=\cos ^{3}t\sin 3t}$

Nodul este la ${\displaystyle t=\pm \pi /3.}$^[4]