Prismă heptagramică 7/3

În geometrie prisma heptagramică 7/3, sau marea prismă heptagramică este o prismă cu baza heptagramică {7/3}. Este un tip de eneaedru cu 9 fețe, 21 de laturi și 14 vârfuri.^[2] Având 9 fețe, este un eneaedru. Topologic este identică cu prisma heptagonală.

Prismă heptagramică 7/3
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform, U78(c)
Fețe	9 (2 heptagrame {7/3},     7 paralelograme)
Laturi (muchii)	15
Vârfuri	14
χ	2
Configurația vârfului	4.4.7/3[1]
Simbol Wythoff	2 7/3 | 2
Simbol Schläfli	t{2,7/3} sau {7/3}×{}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D7h, [7,2], (*722), ordin 28
Grup de rotație	D7, [7,2]+, (722), ordin 14
Arie	${\displaystyle A=2A_{b}+A_{lat}}$
Volum	${\displaystyle V=A_{b}h}$
Poliedru dual	bipiramidă heptagramică 7/3
Proprietăți	stelată
Figura vârfului

Dacă fețele sunt toate regulate, prisma heptagramică este un poliedru semiregulat, mai general, un poliedru uniform cu indicele U_78(c).^[3] Este a treia într-un șir infinit de prisme formate din fețe laterale pătrate și două baze poligonale stelate regulate. Are simbolul Schläfli t{2,7/3}. Poate fi văzută ca produsul cartezian al unei mari heptagrame regulate și al unui segment, {7/3}×{}.

Grupul de simetrie al unei mari prisme heptagramice drepte este D_7h de ordinul 28. Grupul de rotație este D₇ de ordinul 14.

Geometrie

După cum se poate vedea în modelul 3D din casetă, zonele fațetelor triunghiulare adiacente heptagoanelor centrale ale bazelor formează un interior ambiguu datorită autointersectării. Aceste zone triunghiulare pot fi considerate de interior sau exterior, în funcție de modul în care este definit interiorul. O definiție a interiorului este ca fiind mulțimea punctelor care au o rază care traversează frontiera domeniului de un număr impar de ori pentru a ieși din perimetru. Însă din zonele triunghiulare există raze care ies din perimetru după o singură traversare.

Mărimi asociate prismei heptagramice regulate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei prisme heptagramice cu lungimea laturilor de ${\displaystyle 2\sin {\frac {3\pi }{7}}}$sunt date de:^[2]

${\displaystyle \left(\,1,\,0,\,\pm \sin {\frac {3\pi }{7}}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\cos {\frac {2\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {2\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {3\pi }{7}}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\cos {\frac {4\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {4\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {3\pi }{7}}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\cos {\frac {6\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {6\pi }{7}},\,\pm \sin {\frac {3\pi }{7}}\,\right)}$

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă a prismei heptagramice cu lungimea laturilor a este:^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {1+\left(\sin ^{2}{\frac {3\pi }{7}}\right)^{-1}}}{2}}\,a\approx 0,716257\,a.}$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=A_{b}h=7\left(4\tan {\frac {3\pi }{7}}\right)^{-1}\,a^{3}\approx 0,399426\,a^{3}}$

unde ${\displaystyle A_{b}}$ este aria unei heptagrame {7/3}, iar ${\displaystyle h=a}$ este înălțimea prismei.

Dual: bipiramidă heptagramică 7/3

Poliedru dual

Poliedrul dual al prismei heptagramice 7/3 este bipiramida heptagramică 7/3.^[2]