Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.
Noțiune prealabilă: perechi ordonate
Fie și două mulțimi nevide. Dacă iar atunci mulțimea se numește pereche ordonată și se notează cu
Perechile ordonate au proprietatea caracteristică următoare: dacă iar atunci dacă și numai dacă și
Definiția produsului cartezian
Fie și două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea și mulțimea mulțimea
Fie mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există vreun deci . Analog, și în particular .
Produsul cartezian se notează și
Proprietăți algebrice
Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:
- Este necomutativ, adică (cu excepția cazurilor sau sau ).
- Conservă proprietatea de incluziune: dacă și, atunci
- Este distributiv față de reuniune (), intersecție () și diferență ():
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Cardinal
Pentru orice mulțimi finite și cardinali mulțimilor , și — adică numerele lor respective de elemente — verifică:
De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.
Generalizare la n mulțimi
În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.
Bibliografie
- Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
- Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004
Lectură suplimentară
- C. Dinescu, B. Săvulescu, Inițiere în matematica aplicată, Editura Albatros, București, 1984
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.