Grup diedral

În matematică un grup diedral^{[lower-alpha 1]} este grupul de simetrii al unui poligon regulat,^[1][2] care include rotații și reflexii. Grupurile diedrale sunt printre cele mai simple exemple de grupuri finite și joacă un rol important în teoria grupurilor, geometrie și chimie.

Grupul de simetrie al unui fulg de zăpadă este D₆, o simetrie diedrală, la fel ca aceea a hexagonului regulat

Cele șase axe de simetrie de reflexie a hexagonului regulat

Notația pentru grupul diedral diferă în geometrie față de cea din algebra abstractă. În geometrie D_n sau Dih_n se referă la simetriile unui n-gon, un grup de ordinul 2n. În algebra abstractă, D_2n se referă la același grup diedral.^[3] În acest articol se folosește convenția geometrică a notației.

Definiție

Elemente

Un poligon regulat cu ${\displaystyle n}$ laturi are ${\displaystyle 2n}$ simetrii diferite: ${\displaystyle n}$ simetrii de rotație și ${\displaystyle n}$ simetrii de reflexie. De obicei, aici se consideră ${\displaystyle n\geq 3}$. Rotațiile și reflexiile asociate formează grupul diedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$. Dacă ${\displaystyle n}$ este impar, fiecare axă de simetrie conectează punctul de mijloc al unei laturi de vârful opus. Dacă ${\displaystyle n}$ este par, există ${\displaystyle n/2}$ axe de simetrie care leagă punctele de mijoc ale laturilor opuse și ${\displaystyle n/2}$ axe de simetrie care leagă vârfuri opuse. În ambele cazuri, există ${\displaystyle n}$ axe de simetrie și ${\displaystyle 2n}$ elemente în grupul de simetrie.^[4] Reflexia față de o axă de simetrie urmată de reflexia față de o altă axă de simetrie produce o rotație de două ori mai mare decât unghiul dintre aceste axe.^[5]

Următoarea imagine arată efectul celor șaisprezece elemente ale lui ${\displaystyle \mathrm {D} _{8}}$ asupra unui indicator de oprire^⁠(d):

Primul rând arată efectul celor opt rotații, iar al doilea rând arată efectul celor opt reflexii, acționând în fiecare caz asupra indicatorului de oprire cu orientarea așa cum se arată în stânga sus.

Structura grupului

Ca pentru orice figură geometrică, compunerea^⁠(d) a două simetrii ale unui poligon regulat este și ea o simetrie a acelui obiect. Compunerea simetriilor este o operație binară care dă simetriilor unui poligon structura algebrică a unui grup finit.^[6]

Axele de reflexie etichetate S₀, S₁ și S₂ rămân fixe în spațiu (pe pagină) și nu se mișcă ele însele atunci când se face o operație de simetrie (rotire sau reflexie) asupra triunghiului (acest lucru contează când se fac compuneri de simetrii)

Compunerea acestor două reflexii este o rotație

Următoarea tablă Cayley^⁠(d) arată efectul compunerii în grupul D₃ (simetriile unui triunghi echilateral). Cu r₀ se notează identitatea; cu r₁ și r₂ rotațiile în sens antiorar cu 120°, respectiv 240° și cu s₀, s₁ și s₂ reflexiile față de cele trei axe prezentate în imaginea alăturată.

	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r0	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r1	r1	r2	r0	s1	s2	s0
r2	r2	r0	r1	s2	s0	s1
s0	s0	s2	s1	r0	r2	r1
s1	s1	s0	s2	r1	r0	r2
s2	s2	s1	s0	r2	r1	r0

De exemplu, s₂s₁ = r₁ deoarece reflexia s₁ urmată de reflexia s₂ dă rotația cu 120°. Ordinea elementelor de compunere este de la dreapta la stânga, conform convenției că elementul acționează asupra expresiei din dreapta sa. Operația de compunere nu este comutativă.^[6]

În general, grupul D_n are elementele r₀, ..., r_n−1 și s₀, ..., s_n−1, cu compunerea dată de formulele următoare:

${\displaystyle \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.}$

În toate cazurile adunarea și scăderea indicilor trebuie efectuate modulo n.

Grupuri diedrale mici

Exemple de subgrupuri dintr-o simetrie diedrică hexagonală

D₁ este izomorf cu Z₂, grupul ciclic^⁠(d) de ordinul 2. D₂ este izomorf cu K₄, grupul lui Klein. D₁ și D₂ sunt excepționale prin faptul că:

• D₁ și D₂ sunt singurele grupuri abeliene diedrale. Celelalte, D_n, nu sunt abeliene.
• D_n este un subgrup al grupului simetric^⁠(d) S_n pentru n ≥ 3. Deoarece 2n > n!, D_n este prea mare pentru a fi un subgrup pentru n = 1 și n = 2.
• Grupul de automorfisme interioare^⁠(d) D₂ este trivial, în timp ce pentru alte valori pare ale lui n, aceasta este D_n / Z₂.

Grafurile ciclice^⁠(d) ale grupurilor diedrale constau dintr-un ciclu de n elemente și n cicluri de 2 elemente. Vârful (punctul) negru din grafurile ciclice de mai jos ale diferitelor grupuri diedrale reprezintă elementul neutru, iar celelalte vârfuri sunt celelalte elemente ale grupului. Un ciclu constă din puteri succesive ale oricăruia dintre elementele conectate la elementul neutru.

Grafuri ciclice

D1 = Z2	D2 = Z22 = K4	D3	D4	D5
D6 = D3 × Z2	D7	D8	D9	D10 = D5 × Z2

D3 = S3	D4

Grupul diedral ca grup de simetrie în spațiul bidimensional și grup de rotație în spațiul tridimensional

Un exemplu de grup abstract D_n, și o modalitate obișnuită de a-l vizualiza este grupul de izometrie al planului euclidian care păstrează originea fixă. Aceste grupuri formează una dintre cele două serii de grupuri punctuale discrete în spațiul bidimensional. D_n constă din n rotații de multipli de 360°/n în jurul originii și reflexii față de n axe care trec prin origine, făcând unghiuri de multipli de 180°/n una cu cealaltă. Acesta este grupul de simetrie al unui poligon regulat cu n laturi (pentru n ≥ 3; aceasta se extinde la cazurile n = 1 și n = 2 în care avem un plan cu un punct deplasat față de „centrul” „1-gonului”, și un „2-gon”, adică un segment).

D_n este generat^⁠(d) de o rotație r de ordinul n și o reflexie s de ordinul 2 astfel încât

${\displaystyle \mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,}$

În termeni geometrici: în oglindă o rotație arată ca o rotație în sens invers.

În ceea ce privește numerele complexe: operația corespunde înmulțirii cu ${\displaystyle e^{2\pi i \over n}}$ și conjugării complexe.

În formă matricială, punând

${\displaystyle \mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

și definind ${\displaystyle \mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}}$ și ${\displaystyle \mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}}$ pentru ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ se poate scrie regula produsului lui D_n ca

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}}$

Grupul diedral D₂ este generat de rotația r de 180° și reflexia s pe axa x. Elementele lui D₂ pot fi apoi reprezentate ca {e, r, s, rs}, unde e este elementul neutru sau transformarea nulă, iar rs este reflexia față de axa y.

Cele patru elemente ale D₂ (aici axa x este verticală)
Identic (e), rotit cu 180° (r), reflectat (f), rotit și reflectat (rf)

D₂ este izomorf cu grupul lui Klein.

Pentru n > 2 operațiile de rotație și reflexie nu sunt comutative în general și D_n nu este abelian. De exemplu, în D₄, o rotație de 90° urmată de o reflexie dă un rezultat diferit de o reflexie urmată de o rotație de 90°.

D₄ nu este abelian (aici axa x este verticală)
rotit cu 90°, reflectat, reflectat după y, reflectat după y și rotit cu 90°

Astfel, dincolo de aplicarea lor evidentă la problemele de simetrie în plan, aceste grupuri sunt printre cele mai simple exemple de grupuri neabeliene și, ca atare, apar frecvent drept contraexemple ușoare ale teoremelor care sunt limitate la grupurile abeliene.

Elementele 2n ale lui D_n pot fi scrise ca e, r, r², ... , rⁿ⁻¹, s, rs, r²s, ... , rⁿ⁻¹s . Primele n elemente enumerate sunt rotații, iar restul de n elemente sunt reflexii față de axă (toate au ordinul 2). Compunerea a două rotații sau două reflexii este o rotație; compunerea unei rotații și a unei reflexii este o reflexie.

Exemple de simetrie diedrală în spațiul bidimensional

• 
  Simetrie D₁₆ – Sigiliu imperial al Japoniei, reprezentând crizantema cu șaisprezece petale
• 
  Simetrie D₆ – Steaua lui David Roșie
• 
  Simetrie D₁₂ – Drapelul naval al Taiwanului (Soarele alb)
• 
  Simetrie D₂₄ – Ashoka Chakra, cum apare pe drapelul Indiei

Notă explicativă

1. În terminologia din limba engleză termenul de dihedral group provine prin similitudine cu grupurile de simetrii terahedral group, octahedral goup și icosahedral group, explicație care se găsește în sursele în limba engleză. În limba română denumirile ultimelor trei grupuri sunt grup tetraedric, grup octaedric, respectiv grup icosaedric. Similar cu acestea, grupul tratat de articolul de față, considerat grup de simetrii al unui poliedru abstract, ar trebui să se numească grup diedric, însă termenul se întâlnește doar în cristalografie. Cvasitotalitatea materialelor algebrice traduc termenul drept grup diedral. Wikipedia este obligată să folosească denumirea uzuală, așa cum apare în surse, deși ea nu pare a fi cea corectă.

Note

1. en Eric W. Weisstein, Dihedral Group la MathWorld.
2. en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ed. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
3. en „Dihedral Groups: Notation”. Math Images Project. Arhivat din original la 20 martie 2016. Accesat în 11 iunie 2016.
4. en Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, p. 95, ISBN 9780198501954
5. en Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (ed. 2nd), Springer, p. 98, ISBN 9780387224558
6. en Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, p. 71, ISBN 9781482248913

Legături externe

• en Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
• en Dihedral group at Groupprops
• en Eric W. Weisstein, Dihedral Group la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Dihedral Group D3 la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Dihedral Group D4 la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Dihedral Group D5 la MathWorld.
• en Davis, Declan, Dihedral Group D6 la MathWorld.
• en Dihedral groups on GroupNames

	Portal matematică