Bilunulăbirotondă

În geometrie bilunulăbirotonda este unul dintre poliedrele Johnson (J₉₁).^[1][2] Având 26 de fețe, este un icosihexaedru.

Bilunulăbirotondă
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru Johnson J90 – J91 – J92
Fețe	24 (8 triunghiuri echilaterale,       2 pătrate),       4 pentagoane[1]
Laturi (muchii)	26[1]
Vârfuri	14[1]
χ	2
Configurația vârfului	4 (3.52); 8 (3.4.3.5); 2 (3.5.3.5)
Grup de simetrie	D2h , [2,2], (*222), ordin 8
Arie	≈ 12,346 a2   (a = latura)
Volum	≈ 3,094 a3     (a = latura)
Poliedru dual	–
Proprietăți	convexă
Desfășurată

Geometrie

Este unul dintre acele poliedre care nu pot fi create prin operații de „divizare și lipire” ale poliedrelor platonice sau arhimedice.

Totuși, este strâns legată de icosidodecaedru, un poliedru arhimedic. Oricare dintre cele două grupuri de două pentagoane și două triunghiuri poate fi aplicat pe o zonă congruentă de fețe de pe icosidodecaedru. Dacă două bilunulăbirotonde sunt aliniate în acest fel pe fețele opuse ale icosidodecaedrului, atunci două vârfuri ale bilunuăbirotondei se întâlnesc în centrul icosidodecaedrului.

Celelalte două grupuri de fețe ale bilunulăbirotondei, lunulele (fiecare lunulă având două triunghiuri adiacente pe laturile opuse ale unui pătrat), pot fi aplicate pe o zonă congruentă de fețe de pe un rombicosidodecaedru. Dacă două bilunulăbirotonde sunt aplicate astfel pe părți opuse ale rombicosidodecaedrului, atunci între bilunulăbirotonde poate fi pus un cub chiar în centrul rombicosidodecaedrului.

Fiecare dintre cele două perechi de pentagoane adiacente poate fi aplicată și pe fețele pentagonale ale unui icosaedru metabidiminuat.

Bilunulăbirotonda este legată (slab) de cuboctaedru prin faptul că poate fi creată prin înlocuirea a patru fețe pătrate ale cuboctaedrului cu pentagoane.

Imagini din 15° în 15° ale unei bilunulăbirotonde

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Vârfurile unei bilunulăbirotonde centrate în origine cu lungimea laturii de 1 au coordonatele:

${\displaystyle \left(0,0,\pm {\frac {\varphi }{2}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {\varphi +1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {\varphi }{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right),}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Arie și volum

Următoarele formule pentru arie, A și volum, V sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:^[1]

${\displaystyle A=2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\,a^{2}\approx 12,346011\,a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 3,093718\,a^{3}.}$

Poliedre și faguri înrudiți

Șase bilunulăbirotonde pot fi augmentate în jurul unui cub cu simetrie piritoedrică. Bonnie Stewart a etichetat acest model cu șase bilunulăbirotonde ca 6J₉₁(P₄).^[3]

Bilunulăbirotonda poate fi folosită împreună cu dodecaedrul regulat și cubul într-un fagure de umplere a spațiului.

• 
• 
  Fagure care umple spațiul
• 
  6 bilunilăbirotonde în jurul unui cub
• Animație cu teselare cu cuburi, dodecaedre și bilunăbirotonde
  (12 bilunăbirotonde în jurul unui dodecaedru)

Note

1. en Stephen Wolfram, "Bilunabirotunda" from Wolfram Alpha. Retrieved March 5, 2023.
2. en Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603
3. en Bonnie Stewart, Adventures Among the Toroids: A Study of Quasi-Convex, Aplanar, Tunneled Orientable Polyhedra of Positive Genus Having Regular Faces With Disjoint Interiors, 2nd ed., 1980, ISBN: 978-0686119364, p. 127, „polyhedron 6J₉₁(P₄)”.

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Bilunabirotunda la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.
• en Miracle Spacefilling (Dodecahedron&Cube&Johnson solid No.91)

	Portal Matematică