Bisfenocingulum

În geometrie bisfenocingulum sau girobifastigium pentakis alungit este unul dintre poliedrele Johnson (J₉₀).^[1][2] Este unul dintre aceste poliedre care nu pot fi create prin operații de „divizare și lipire” ale poliedrelor platonice sau arhimedice. Având 24 de fețe, este un icositetraedru.

Bisfenocingulum
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru Johnson J89 – J90 – J91
Fețe	24 (20 triunghiuri echilaterale,         4 pătrate)[1]
Laturi (muchii)	38[1]
Vârfuri	16[1]
χ	2
Configurația vârfului	4 (32.42); 4 (35); 8 (34.4)
Grup de simetrie	D2d, [2+,4], (2*2), ordin 8
Arie	≈ 12,660 a2   (a = latura)
Volum	≈ 3,778 a3     (a = latura)
Poliedru dual	Bisfenoid snub trunchiat de ordinul 5
Proprietăți	convexă
Desfășurată

Dacă într-un bisfenocingulum se înlocuiește banda de triunghiuri de sus și de jos cu o bandă de dreptunghiuri, în timp ce se păstrează două sfenocoroane (J₈₆) opuse se obține ortobicupola pătrată, alt poliedru Johnson (J₂₈).

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Fie a ≈0,76713 cea de a doua cea mai mică rădăcină pozitivă a polinomului

${\displaystyle {\begin{aligned}&256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}\\&\quad +1552x^{8}-6592x^{7}+1248x^{6}+4352x^{5}\\&\quad -2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23\end{aligned}}}$

și ${\displaystyle h={\sqrt {2+8a-8a^{2}}},}$ ${\displaystyle c={\sqrt {1-a^{2}}}.}$

Atunci coordonatele carteziene ale bisfenocingulumului cu latura de lungime 2 sunt date de reuniunea orbitelor punctelor

${\displaystyle \left(1,2a,{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1,0,2c+{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1+{\frac {\sqrt {3-4a^{2}}}{c}},0,2c-{\frac {1}{c}}+{\frac {h}{2}}\right)}$

sub acțiunea grupului de simetrie generat de reflexiile față de planele xz și yz.^[3]

Arie și volum

Următoarele formule pentru arie, A^[1][4] și volum, V sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle A=(4+5{\sqrt {3}})\,a^{2}\approx 12,660254\,a^{2}.}$

Pentru volum se calculează ${\displaystyle \xi }$ ca rădăcina minimă pozitivă a polinomului de gradul 24:

   1213025622610333925376 x²⁴

+ 54451372392730545094656 x²²

− 796837093078664749252608 x²⁰

− 4133410366404688544268288 x¹⁸

+ 20902529024429842816303104 x¹⁶

− 133907540390420673677230080 x¹⁴

+ 246234688242991598853881856 x¹²

− 63327534106871321714442240 x¹⁰

+ 14389309497459555704164608 x⁸

+ 48042947402464500749392128 x⁶

− 5891096640600351061013664 x⁴

− 3212114716816853362953264 x²

+ 479556973248657693884401 ,

cu care volumul este:

${\displaystyle V=\xi \,a^{3}\approx 3,777645~a^{3}.}$