Hexacontaedru romboidal

În geometrie un hexacontaedru romboidal este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexacontaedrului romboidal este rombicosidodecaedrul. Este tranzitiv pe fețe.

Hexacontaedru romboidal
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	60
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	62 (12 + 20 + 30)
χ	2
Configurația feței	V3.4.5.4 (romboizi)
Simbol Conway	oD sau deD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, H3, [5,3], *532
Grup de rotație	I, [5,3]+, (532)
Unghi diedru	154° 7′ 17′′ = arccos(-19-8√5/41)
Poliedru dual	Rombicosidodecaedru
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

Dual: Rombicosidodecaedru

Este unul dintre cele șase poliedre Catalan care nu au un drum hamiltonian prin vârfurile sale.^[1]

Din punct de vedere topologic este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex.

Lungimi și unghiuri

Cele 60 de fețe sunt romboizi. Raportul dintre laturile scurte și lungi ale fiecărui romboid este 1:7 + √5/6 ≈ 1:1,539344663...

Unghiul dintre cele două laturi scurte ale unei fețe este arccos(-5-2√5/20) ≈ 118,2686774705°. Unghiul opus, între laturile lungi, este arccos(-5+9√5/40) ≈ 67,783011547435°. Celelalte două unghiuri (între o latură scurtă și una lungă) sunt ambele de arccos(5-2√5/10) ≈ 86,97415549104°.

Unghiul diedru dintre oricare pereche de fețe adiacente este arccos(-19-8√5/41) ≈ 154,12136312578°.

Topologie

Din punct de vedere topologic hexacontaedrul romboidal este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex. Hexacontaedrul romboidal poate fi obținut dintr-un dodecaedru (sau icosaedru) prin deplasarea centrelor fețelor, a centrelor laturilor și a vârfurilor la raze diferite față de centrul poliedrului. Razele sunt alese astfel încât forma rezultată să aibă fețe plane romboidale astfel încât vârfurile să se deplaseze la colțurile de gradul 3, fețele la colțurile de gradul cinci, iar centrele laturilor la punctele de gradul patru (aici, prin grad se înțelege numărul de fețe care se întâlnesc în acel vârf).

Proiecții ortogonale

Hexacontaedrul romboidal are trei proiecții ortogonale particulare, toate centrate pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă

Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Imagini
Imagini duale

Poliedre și pavări înrudite

Hexacontaedru romboidal sferic

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Atunci când sunt proiectate pe o sferă (v. la dreapta), se poate observa că laturile formează laturile unui icosaedru și dodecaedru dispuse în pozițiile lor duale.

Din punct de vedere topologic acest poliedru face parte din secvența de poliedre romboidale cu figura feței (V3.4.n.4) și continuă cu pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetria de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4

Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paracomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Config. feței	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Note

1. en „Archimedean Dual Graph”.

Bibliografie

• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal hexecontahedron)
• http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanDualGraph.html
• en Eric W. Weisstein, Archimedean dual graph la MathWorld.

Legături externe

	Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, DeltoidalHexecontahedron and Hamiltonian path la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.