From Wikipedia, the free encyclopedia
În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1][2] Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3][4]
De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extinderilor C/R[6] și Q(√2)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.
Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale.[10]
Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.[12]
Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]
O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.
Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți:[15]
Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:
Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.
Teoria modelelor(d) generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea
este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. Grupul Galois(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.