From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, axioma alegerii este o axiomă în cadrul teoriei mulțimilor. Axioma alegerii spune, informal vorbind, că, dându-se o familie (posibil infinită) de mulțimi nevide, se poate alege simultan câte un element din fiecare dintre ele, rezultând o mulțime. Axioma alegerii are un statut mai special în teoria mulțimilor, în sensul că sunt studiate și variante ale teoriei mulțimilor în care nu este acceptată axioma alegerii.
Un posibil enunț al axiomei alegerii este următorul: Dacă este o familie de mulțimi nevide (), disjuncte două câte două (), atunci există o mulțime a cărei intersecție cu fiecare mulțime din conține un singur element:
O formulare echivalentă este aceea că, dându-se o familie de mulțimi nevide, există o funcție satisfăcând
De notat că în cazul în care este finită, nu este nevoie de axioma alegerii, existența lui rezultă direct din celelalte axiome ale teoriei mulțimilor. De asemenea, este nevoie de axioma alegerii numai dacă nu există vreun element privilegiat în fiecare mulțime din . De exemplu, dacă mulțimile din sunt ordonate și fiecare mulțime are un minim, atunci funcția există, fără să avem nevoie de axioma alegerii.
Axioma alegerii este independentă de restul teoriei mulțimilor în sensul că, dacă teoria mulțimilor este necontradictorie, atunci teoria mulțimilor cu axioma alegerii este de asemenea necontradictorie și de asemenea teoria mulțimilor împreună cu negația axiomei alegerii este necontradictorie.
Din acest punct de vedere, poziția axiomei alegerii față de teoria mulțimilor este similară poziției axiomei lui Euclid față de geometrie.
Următoarele propoziții sunt echivalente cu axioma alegerii:
Următoarele propoziții rezultă din axioma alegerii:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.