Área

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.^[1]

O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área ${\displaystyle {\frac {9}{4}}\pi }$ e o triângulo tem área ${\displaystyle {\frac {9}{2}}.}$

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.^[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
• Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
• Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
• Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.^[3]

Unidades

Ver artigo principal: Unidades de área

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
• 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
• 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
• 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
• 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:

• 1 are = 100 metros quadrados.

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:

• 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

História

Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.

Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos ${\displaystyle C=2\pi r}$, onde ${\displaystyle \pi }$ vale aproximadamente ${\displaystyle 3,14}$.

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, com ${\displaystyle \pi }$ valendo aproximadamente ${\displaystyle 3,14}$.

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.^[4]

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

${\displaystyle A=l\times w}$ (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

${\displaystyle A=l^{2}}$ (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.

${\displaystyle A=b\times h}$ (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

${\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}$ (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

${\displaystyle A={\frac {B+b}{2}}\times h}$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)^[5]

Área do losango:

${\displaystyle A={\frac {D\times d}{2}}}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)^[6]

Área de qualquer polígono regular:

${\displaystyle {\frac {P\times a}{2}}}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)^{[carece de fontes?]}

Círculo

Círculo dividido em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio ${\displaystyle r}$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é ${\displaystyle r}$ e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, ${\displaystyle \pi r.}$ Resulta que a área do círculo é ${\displaystyle r\times \pi r,}$ ou seja, ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle A=\pi \times r^{2}}$ (área do círculo; r = raio)^[7]

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente ${\displaystyle \pi r^{2},}$ que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

${\displaystyle A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

Área de uma superfície

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio ${\displaystyle r}$ é:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ (área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	${\displaystyle {\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle L}$ é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	${\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$	${\displaystyle p}$ é metade do perímetro, ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\mathrm {sen} \,(C)}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são quaisquer dois lados, e ${\displaystyle C}$ é o ângulo entre eles.
Triângulo	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh}$	${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle h}$ são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	${\displaystyle l^{2}}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo	${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo	${\displaystyle bh}$	${\displaystyle b}$ é o comprimento da base e ${\displaystyle h}$ é a altura medida na perpendicular.
Trapézio	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são os lados paralelos e ${\displaystyle h}$ a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular	${\displaystyle {\frac {3L^{2}}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle L}$ é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})l^{2}}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	${\displaystyle {\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)}$	${\displaystyle l}$ é o comprimento de um dos lados e ${\displaystyle n}$ o número de lados.
Polígono regular	${\displaystyle {\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \mathrm {sen} \,(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)}$	${\displaystyle R}$ é o raio do círculo circunscrevente, ${\displaystyle r}$ o raio do círculo interior, e ${\displaystyle n}$ é o número de lados.
Polígono regular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap}$	${\displaystyle a}$ é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e ${\displaystyle p}$ é o perímetro do polígono.
Círculo	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{ou}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}}$	${\displaystyle r}$ é o raio e ${\displaystyle d}$ o diâmetro.
Setor circular	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse	${\displaystyle \pi ab}$	${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro	${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle h}$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	${\displaystyle 2\pi rh}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle h}$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone	${\displaystyle \pi r(r+l)}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle l}$ são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ \pi d^{2}}$	${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle d}$ são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$	${\displaystyle B}$ é a área da base, ${\displaystyle P}$ o perímetro da base e ${\displaystyle L}$ a distância do vértice aos cantos da base.

Aplicações

Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

Notação

Usa-se a escrita ${\displaystyle (ABC...N)}$ para indicar a área de um polígono de ${\displaystyle N}$ vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

Área de um triângulo

Critério para equivalência de triângulos

Propriedade 1

Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

Demonstração: Dadas duas retas paralelas ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$, a uma distância ${\displaystyle d}$, marcamos sobre a reta ${\displaystyle r}$, os pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, e sobre a reta ${\displaystyle s}$, marcamos os pontos, ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle C^{\prime }}$, conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência do corolário: Sejam ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$ triângulos tais que ${\displaystyle AB//CC^{\prime }}$. Então ${\displaystyle (ABC)=(ABC^{\prime })}$.^[8]

Analisando as áreas dos triângulos ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$, temos que:

${\displaystyle (ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}}$

${\displaystyle (ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}}$

Assim, como ${\displaystyle r//s}$ e a distância de ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle s}$ dada por ${\displaystyle d(r,s)=d}$, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ pertencem a reta ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle C}$ pertence a reta ${\displaystyle s}$, obtendo um ponto qualquer ${\displaystyle C^{\prime }}$ sobre a reta ${\displaystyle s}$, temos ${\displaystyle AB//CC^{\prime }}$, portanto os dois triângulos ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle ABC^{\prime }}$ possuem a mesma base ${\displaystyle AB}$ e a mesma altura ${\displaystyle d}$, logo suas áreas são iguais.

Propriedade 2

Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

Na triângulo ${\displaystyle ABC}$, foi traçada uma ceviana a partir do vértice ${\displaystyle A}$ intersectando o lado ${\displaystyle BC}$ no ponto ${\displaystyle X}$, ficando assim determinados dois triângulos: ${\displaystyle AXB}$ e ${\displaystyle AXC}$, de mesma altura ${\displaystyle AH}$.

Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,

${\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}}$

Portanto,

${\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}}$

Triângulos semelhantes

Ver artigo principal: Semelhança de triângulos

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

Sejam ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle MNP}$ dois triângulos semelhantes, sendo ${\displaystyle k}$ a razão de semelhança entre seus lados:

${\displaystyle {\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k}$, então temos ${\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}}$

Demonstração: Como ${\displaystyle NP=k\cdot BC}$ e ${\displaystyle HM=k\cdot AH}$, temos pelas áreas dos triângulos:

${\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}}$

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança ${\displaystyle k}$ entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será ${\displaystyle k^{2}}$.

A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas

Seja ${\displaystyle ABC}$ um triângulo retângulo no vértice ${\displaystyle A}$, onde a hipotenusa ${\displaystyle BC=a}$, e seus catetos ${\displaystyle AB=c}$ e ${\displaystyle AC=b}$, considerando ainda a altura relativa à hipotenusa ${\displaystyle AH=h}$, bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa ${\displaystyle BH=m}$ e ${\displaystyle CH=n}$, temos:

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:

• I. ${\displaystyle ah=bc}$
• II. ${\displaystyle c^{2}=am}$ e ${\displaystyle b^{2}=na}$
• III. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Demonstração I:

I.a) Calculando a área ${\displaystyle (ABC)}$ a partir da base ${\displaystyle BC}$ e altura ${\displaystyle AH}$:

${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h}$

I.b) Calculando a área ${\displaystyle (ABC)}$ a partir da base ${\displaystyle AC}$ e altura ${\displaystyle AB}$:

${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c}$

Decorre de I.a) e I.b) temos que ${\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c}$.

Logo ${\displaystyle a\cdot h=b\cdot c}$

Demonstração II:

II.a) Dado o triângulo ${\displaystyle ABC}$, retângulo em ${\displaystyle A}$, constrói-se quadrados sobre a hipotenusa ${\displaystyle BC}$ e os catetos ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle AB}$, respectivamente de medidas ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$. Depois prolonga-se a altura ${\displaystyle AH}$ até interceptar o lado ${\displaystyle FG}$ do quadrado ${\displaystyle BCGF}$ no ponto ${\displaystyle I}$.

Observando os segmentos paralelos ${\displaystyle BG}$ e ${\displaystyle AI}$, percebe-se dois triângulos ${\displaystyle GBA}$ e ${\displaystyle GBH}$ de mesma área, cujas bases medem ${\displaystyle a}$ e as alturas medem ${\displaystyle m}$.

Assim, ${\displaystyle (GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m}$

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos ${\displaystyle GBA}$ e ${\displaystyle BDC}$ são congruentes pelo caso LAL, pois ${\displaystyle BD\equiv BA}$, ${\displaystyle BC\equiv BG}$ e ${\displaystyle \angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }}$. Logo, ${\displaystyle (BDC)=(GBA)}$. E como os segmentos ${\displaystyle BD}$ e ${\displaystyle AC}$ são paralelos temos que ${\displaystyle (BDA)=(BDC)}$, visto que a base ${\displaystyle BD}$ e a altura ${\displaystyle AB}$ são comuns aos dois triângulos.

Assim: ${\displaystyle BD=AB=c}$, então ${\displaystyle (BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}}$

Daí, ${\displaystyle (GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am}$

II.b) De maneira análoga, é provado que ${\displaystyle b^{2}=an}$

Como ${\displaystyle AI//CF}$, temos nos triângulos ${\displaystyle ACF}$ e ${\displaystyle HCF}$ que ${\displaystyle (ACF)=(HCF)}$, pois possuem a mesma base ${\displaystyle CF}$ e mesma altura ${\displaystyle CH}$, sendo assim:

${\displaystyle (ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}}$

Temos ainda que os triângulos ${\displaystyle BCJ}$ e ${\displaystyle ACF}$ são congruentes pelo caso LAL, pois ${\displaystyle AC\equiv CJ=b}$; ${\displaystyle CF\equiv BC=a}$; ${\displaystyle \angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }}$. Então, como ${\displaystyle AK//CJ}$ temos:

${\displaystyle (ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}}$

Portanto, da congruência ${\displaystyle BCJ}$ e ${\displaystyle ACF}$, temos:

${\displaystyle (BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an}$

Demonstração III:

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

${\displaystyle b^{2}=an}$ e ${\displaystyle c^{2}=am}$, logo ${\displaystyle b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)}$

Como ${\displaystyle n+m=a}$, temos:

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}}$ (Teorema de Pitágoras)

Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

${\displaystyle BCJ\equiv ACF}$, pelo caso LAL, então ${\displaystyle (BCJ)=(ACF)}$. Temos também que ${\displaystyle (ACJ)=(BCJ)=(ACF)}$ e ${\displaystyle (ACF)=(CHF)=(BCJ)}$. Daí, ${\displaystyle (ACJ)=(CHF)}$.

Logo, ${\displaystyle (ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)}$.

Por outro lado, da demonstração II. b), onde ${\displaystyle GBA\equiv BDC}$, pelo caso LAL, então ${\displaystyle (GBA)=(BDC)}$. Temos ainda que ${\displaystyle (ABD)=(BDC)=(ABG)}$ e ${\displaystyle (ABG)=(BHG)=(BDC)}$. Daí, ${\displaystyle (ABD)=(BHG)}$.

Logo, ${\displaystyle (ABDE)=2(ABD)=2(BHG)}$.

Portanto, analisando a área do quadrado ${\displaystyle BCGF}$ de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:

${\displaystyle (BCFG)=(CHIF)+(BHGI)}$

${\displaystyle (BCFG)=2(CHF)+2(BHG)}$

${\displaystyle (BCFG)=(ACJK)+(ABDE)}$

Concluindo, ${\displaystyle (BCFG)=a^{2}}$, ${\displaystyle (ACJK)=b^{2}}$ e ${\displaystyle (ABDE)=c^{2}}$

Então, ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ (Teorema de Pitágoras)

Área de um trapézio

No trapézio ${\displaystyle ABCD}$ de altura ${\displaystyle h}$, temos os lados paralelos ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle DC}$, tal que ${\displaystyle AB=a}$ e ${\displaystyle DC=b}$.

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle AB>DC}$, e traçar pelo vértice ${\displaystyle B}$ um segmento paralelo ao lado ${\displaystyle AD}$ de forma que intercepte o lado ${\displaystyle DC}$ no ponto ${\displaystyle E}$. Assim, como ${\displaystyle AB//DC}$ e ${\displaystyle AD//BE}$, temos o paralelogramo ${\displaystyle ABED}$ de altura ${\displaystyle h}$ e base ${\displaystyle DE=AB=a}$, e temos ainda um triângulo ${\displaystyle BCE}$ de base ${\displaystyle EC=DC-DE=b-a}$, e altura ${\displaystyle h}$.

Note que:

${\displaystyle (ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}}$

Portanto,

${\displaystyle (ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}}$

Área de um losango

De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então ${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD}$.^[9]

Demonstração: Dado o losango ${\displaystyle ABCD}$, cujas diagonais interceptam-se no ponto ${\displaystyle M}$, simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BD}$.

Como ${\displaystyle AB=BC=CD=DA}$, os triângulos determinados pelas diagonais ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BD}$, são isósceles e como ${\displaystyle M}$ é ponto médio destas diagonais, temos que, ${\displaystyle AM=MC}$, ${\displaystyle BM=MD}$, portanto os triângulos ${\displaystyle ABD}$ e ${\displaystyle BCD}$ são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos ${\displaystyle ADC}$ e ${\displaystyle ABC}$, pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal ${\displaystyle BD}$.

${\displaystyle (ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM}$

${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)}$.

Como ${\displaystyle AM+MC=AC}$, temos:

${\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD}$

Ver também

• Unidades de área
• Volume
• Comprimento da circunferência

Referências

1. Facco, Sonia Regina. «Conceito de área» (PDF). pucsp.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
2. «Bureau International des Poids et Mesures» (em inglês)
3. Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.
4. Só Matemática. «História da Geometria». Consultado em 17 de junho de 2015
5. «Área do trapézio». colegioweb.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
6. «Cálculo de área». matematicadidatica.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
7. Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, New York: Barnes & Noble publicado por acordo com St. Martin's Press, p. 17:
   "The area of a circle... is ${\displaystyle A=}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$"
   ("A área de um círculo... é ${\displaystyle A=}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$")
8. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 215 páginas
9. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 219 páginas

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Área

WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades