Operador linear limitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é uma transformação linear ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$ entre espaços vetoriais topológicos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ que aplica subconjuntos limitados de ${\displaystyle X}$ em subconjuntos limitados de ${\displaystyle Y}$. Em particular, se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são espaços normados, então ${\displaystyle T}$ é limitado se, e somente se, existe ${\displaystyle M>0}$ tal que

${\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.}$

Em espaços vetoriais normados

Seja ${\displaystyle T:X\to Y\,}$ uma transformação linear entre espaços normados ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ . Então ${\displaystyle T}$ é um operador linear limitado se existe ${\displaystyle M>0}$ tal que

${\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.}$

Denotamos por ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados de ${\displaystyle X}$ em ${\displaystyle Y}$. Define-se a norma de um operador linear limitado por

${\displaystyle \|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:=\sup _{\stackrel {x\in X}{x\neq 0}}{\frac {\|Tx\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}.}$

Pode-se provar que se ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$, então

${\displaystyle \|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|\leq 10}}\|Tx\|_{Y}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|=1}}\|Tx\|_{Y}.}$

Proposição^[1] — Seja ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$ um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. ${\displaystyle T}$ é limitada.
2. ${\displaystyle T}$ é uniformemente contínuo.
3. ${\displaystyle T}$ é contínuo na origem.

Prova

(${\displaystyle 1\Rightarrow 2}$) Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, se ${\displaystyle x,y\in X}$, então

${\displaystyle \|Tx-Ty\|_{Y}=\|T(x-y)\|_{Y}\leq M\|x-y\|_{X}.}$

Portanto, basta tomar ${\displaystyle \delta <{\frac {\varepsilon }{M}}}$ que temos a continuidade uniforme.

(${\displaystyle 2\Rightarrow 3}$) É óbvio.

(${\displaystyle 3\Rightarrow 1}$) Como ${\displaystyle T}$ é contínuo na origem, existe ${\displaystyle \delta >0}$ tal que

${\displaystyle \|Tx\|_{Y}<1,}$ sempre que ${\displaystyle \|x\|_{X}<\delta .}$

Com isso, dado ${\displaystyle x\neq 0}$, tome ${\displaystyle y={\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta }$. Assim, ${\displaystyle \|y\|_{X}<\delta /2}$ e consequentemente

${\displaystyle \|Ty\|_{Y}<1\Rightarrow \left\|T\left({\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta \right)\right\|_{Y}<1\Rightarrow {\frac {\delta }{2\|x\|_{X}}}\|Tx\|_{Y}<1.}$

Donde, ${\displaystyle \|Tx\|_{Y}<{\frac {2}{\delta }}\|x\|_{X}.}$ Logo, ${\displaystyle T}$ satisfaz a definição de limitado com a constante ${\displaystyle M=2/\delta .}$

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura operador linear limitado e operador linear contínuo indistintamente.

Propriedades

• Se ${\displaystyle X}$ é um espaço normado e ${\displaystyle Y}$ é um espaço de Banach, então ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ também é um espaço de Banach.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,\mathbb {R} )}$ é chamado de dual topológico de ${\displaystyle X}$ e é denotado simplesmente por ${\displaystyle X^{\ast }.}$^{[nota 1]}

• Dados ${\displaystyle x^{\ast }\in X^{\ast }}$ e ${\displaystyle x\in X}$, constuma-se usar a notação ${\displaystyle \langle x^{\ast },x\rangle _{X^{\ast },X}}$, ou simplesmente ${\displaystyle \langle x^{\ast },x\rangle }$, ao invés de ${\displaystyle x^{\ast }(x)}$.

• Se ${\displaystyle X\,}$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

• Se ${\displaystyle X\,}$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

• Todo operador linear limitado é fechado.

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Notas

1. Alguns textos usam a notação ${\displaystyle X'}$ para o dual topológico ao invés de ${\displaystyle X^{\ast }}$.

Referências

1. Biezuner 2009, p. 12.

Bibliografia

• Biezuner, Rodney Josué (2009). Notas de Aula Análise Funcional (PDF). [S.l.: s.n.]

• Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3
• Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. ISBN 978-0471504597