Espaços normados

Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.

O conceito foi proposto por Stefan Banach^[1], Hans Hahn^[2] e Norbert Wiener^[3], de maneira independente, em 1922.

Definição

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial real ou complexo. Uma função ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert :X\to \mathbb {R} }$ é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.^[4]

1. ${\displaystyle \lVert x\rVert \geq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle \lVert x\rVert =0\Leftrightarrow x=0}$ (Positividade e não degenerescência);
2. ${\displaystyle \lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\lVert x\rVert }$ para todos ${\displaystyle \alpha }$ escalares e ${\displaystyle x\in X}$ (Homogeneidade);
3. ${\displaystyle \lVert x+y\rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ para todos ${\displaystyle x,\,y\in X}$ (Desigualdade triangular).

Nesse caso, ${\displaystyle X}$ é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que

${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X}$

define uma métrica em ${\displaystyle X\,}$, fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.^[4]

As operações de soma ${\displaystyle +}$ e produto por escalar ${\displaystyle \cdot }$ são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.^[4]

Exemplos de Espaços Normados

1) O espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ munido da norma euclidiana

${\displaystyle \lVert x\rVert$ :=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{2}\right)^{1/2}} ,

onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

2) O espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ munido da norma-${\displaystyle p}$

${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$,

onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle p\in [1,\infty ).}$

3) O espaço vetorial ${\displaystyle \ell _{p}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}}$ das sequências ${\displaystyle p-}$somáveis, munido da norma

${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$.

Métricas induzidas

Se um espaço vetorial ${\displaystyle X}$ é normado, a função ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ definida por

${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X}$

é uma métrica em ${\displaystyle X}$, chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se ${\displaystyle X}$ é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz

${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)}$ e

${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

para todos ${\displaystyle x,y,z\in X}$ e ${\displaystyle \alpha }$ escalar, então existe uma norma ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ em ${\displaystyle X}$ que induz a métrica ${\displaystyle d}$. A dizer,

${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0),\quad \forall x\in X}$.

Operadores lineares limitados

Sejam ${\displaystyle X,\,Y}$ espaços normados e ${\displaystyle T:X\to Y}$ um operador linear. Dizemos que ${\displaystyle T}$ é limitado se existe ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \lVert Tx\rVert \leq c\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X\,}$.

Nesse caso, definimos a norma de operador de ${\displaystyle T}$ por

${\displaystyle \lVert T\rVert$ :=\sup _{x\neq 0}{\frac {\lVert Tx\rVert }{\lVert x\rVert }}=\sup _{\lVert x\rVert =1}{\lVert Tx\rVert }} .^[5]

O conjunto dos operadores limitados ${\displaystyle X\to Y}$, geralmente denotado ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$, é um subespaço do conjunto dos operadores lineares ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ e a norma de operador é de fato uma norma em ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$. Caso ${\displaystyle Y}$ seja um espaço de Banach, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$ também é um espaço de Banach.^[5] Em particular, o dual topológico ${\displaystyle X^{*}:={\mathcal {B}}(X,\mathbb {K} )}$ de qualquer espaço normado ${\displaystyle X\,}$é completo.

As seguintes afirmações a respeito do operador linear ${\displaystyle T:X\to Y}$ são equivalentes^[4][5]:

• ${\displaystyle T}$ é limitado;
• ${\displaystyle T}$ é contínuo;
• ${\displaystyle T}$ é contínuo em um ponto ${\displaystyle x_{0}\in X}$;
• ${\displaystyle T}$ é uniformemente contínuo;
• ${\displaystyle T}$ é Lipschitziano;
• ${\displaystyle \lVert T\rVert <\infty }$;
• ${\displaystyle T}$ leva conjuntos limitados (em ${\displaystyle X}$) em conjuntos limitados (em ${\displaystyle Y}$).

Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.

Se um operador linear ${\displaystyle T:X\to Y}$ é bijetor e tal que

${\displaystyle \lVert Tx\rVert =\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X}$,

${\displaystyle T}$ é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são isomorfos.

Exemplos

1) Dado ${\displaystyle X}$ espaço normado, a identidade ${\displaystyle id_{x}:X\to X}$ é um operador linear limitado.

2) Dado o espaço ${\displaystyle \ell _{p}}$, considere as funções ${\displaystyle S_{r}:\ell _{p}\to \ell _{p}}$ e ${\displaystyle S_{l}:\ell _{p}\to \ell _{p}}$ dadas por

${\displaystyle S_{r}(x):=(0,x_{1},x_{2},...,x_{n},...)}$ e ${\displaystyle S_{l}(x):=(x_{2},x_{3},...,x_{n},...)}$,

onde ${\displaystyle x:=(x_{1},x_{2},...,x_{n},...)\in \ell _{p}.}$ Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.

3) O operador diferencial ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:C^{1}[a,b]\to C^{0}[a,b]}$, dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(f):[a,b]&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto {\frac {df}{dx}}(x)\end{aligned}}}$

constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.

Normas equivalentes

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial e ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ duas normas nele. Caso ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.

Duas normas ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ são equivalentes se, e somente se, existem ${\displaystyle A,B>0}$ tais que

${\displaystyle A\lVert x\rVert _{1}\leq \lVert x\rVert _{2}\leq B\lVert x\rVert _{1},\quad \forall x\in X}$.^[5]

Além disso, as sequências de Cauchy em ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{1})}$ e ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{2})}$ são as mesmas.^[5] Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {id}$ :(X,\lVert \cdot \rVert _{1})&\to (X,\lVert \cdot \rVert _{2})\\x&\mapsto x\end{aligned}}}

é um isomorfismo entre espaços normados.

Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.^[5]

Exemplos de Normas Equivalentes

1) Dados ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$, tem-se que as normas ${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}}$ e ${\displaystyle \lVert x\rVert _{q}}$, quando definidas em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, são equivalentes. Aqui,

${\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }:={\underset {1\leq k\leq n}{\sup }}|x_{k}|}$, onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.

Norma canônica de um espaço vetorial

Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.

Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\,\mathbb {C} }$ possui uma base (de Hamel) ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$. Por definição, isso significa que todo vetor ${\displaystyle v\in V}$ pode ser decomposto unicamente por

${\displaystyle v=\sum _{j\in J}\alpha _{j}e_{j}}$,

onde ${\displaystyle J\subseteq I}$ é finito e ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {K} ,\,\forall j\in J}$. Define-se então

${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \cdot \rVert :V&\to \mathbb {R} \\v&\mapsto \lVert v\rVert$ :=\max _{j\in J}|\alpha _{j}|\,.\end{aligned}}}

Tal função é de fato uma norma em ${\displaystyle V}$, chamada de norma canônica.

Referências

1. Banach, Stefan (1922). «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales». Fundamenta Math
2. Hahn, Hans (1922). «Über Folgen linearer Operationen». Monatshefte Math. Phys.
3. Wiener, Norbert (1922). «Limit in terms of continuous transformation». Bull. Soc. Math. France
4. Botelho, Geraldo; Pellegrino, Daniel; Teixeira, Eduardo (2011). Fundamentos de Análise Funcional. [S.l.: s.n.]
5. Kreyszig, Erwin (1989). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons