Continuidade uniforme

Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Gráfico de uma função uniformemente contínua

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial. Isto quer dizer que a partir de uma pequena variação da imagem podemos encontrar uma única variação do domínio que sirva para todos os pontos.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição nos Números Reais

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.^{[carece de fontes?]} Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ que, quando a variável independente ${\displaystyle x}$ passa por todos os valores reais entre ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, o valor de ${\displaystyle \varphi (x)}$ nunca se torna infinito e cobre todos valores entre ${\displaystyle \varphi (a)}$ e ${\displaystyle \varphi (b)}$.^[1] Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, dados quaisquer valores ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ entre ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, os valores de ${\displaystyle \varphi (x_{1})}$ e ${\displaystyle \varphi (x_{2})}$ devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ${\displaystyle \varepsilon }$ um valor ${\displaystyle \delta }$ ^{[Nota 1]} tal que sempre que ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, tem-se que ${\displaystyle |\varphi (x_{1})-\varphi (x_{2})|<\varepsilon }$.^{[Nota 2]} Em outras palavras, sendo ${\displaystyle f}$ uma função real definida em ${\displaystyle X}$, diremos que ${\displaystyle f}$ é uniformemente contínua quando dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe ${\displaystyle \delta >0}$ tal que

${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |(f(x)-f(y)|<\varepsilon ,~~\forall x,y\in X\,}$

Definição em Espaços Métricos

Para a função ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ definida do espaço métrico ${\displaystyle X\,}$ para o espaço métrico ${\displaystyle Y\,}$, ${\displaystyle f\,}$ é dita uniformemente contínua se dado ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ existe um ${\displaystyle \delta >0\,}$ tal que:

${\displaystyle d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon ,~~\forall x,y\in X\,}$

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,y\in X,(d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon )\,}$

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

${\displaystyle \forall x\in X,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall y\in X,(d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon )\,}$

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um ${\displaystyle \delta \,}$ para cada ${\displaystyle x\,}$, enquanto que a continuidade uniforme exige um ${\displaystyle \delta \,}$ global, para todo ${\displaystyle x\,}$.

Para dizer que uma função real ${\displaystyle f}$ não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, seja qual for ${\displaystyle \delta >0}$, podemos encontrar ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ no domínio de ${\displaystyle f}$ tal que

${\displaystyle |x-y|<\delta }$ mas ${\displaystyle |(f(x)-f(y)|\geq \varepsilon }$.

Propriedades

As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.

1. Se uma função real ${\displaystyle f}$ definida em ${\displaystyle X}$ é lipschitziana, então é uniformemente contínua. Sendo ${\displaystyle f}$ lipschitziana com constante de lipschitz ${\displaystyle C>0}$, então para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle X}$ tem-se ${\displaystyle C|x-y|\geq |f(x)-f(y)|}$. Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, basta tomar ${\displaystyle \delta ={\dfrac {\varepsilon }{C}}}$ e então ${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |x-y|<{\dfrac {\varepsilon }{C}}\Longrightarrow C|x-y|<\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .}$
2. Seja ${\displaystyle f}$função real definida em ${\displaystyle X}$ e uniformemente contínua. Se ${\displaystyle (x_{n})}$ é uma sequência de Cauchy em ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle (f(x_{n}))}$é uma sequência de Cauchy. Como ${\displaystyle f}$ é uniformemente contínua, dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe ${\displaystyle \delta >0}$tal que ${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .}$Sendo ${\displaystyle (x_{n})}$de Cauchy, dado esse ${\displaystyle \delta >0}$, existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que para todo ${\displaystyle m,n>n_{0}}$tem-se ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\delta .}$ Como ${\displaystyle (x_{n})\subset X}$ segue que para todo ${\displaystyle m,n>n_{0}}$ temos ${\displaystyle |f(x_{m})-f(x_{n})|<\varepsilon .}$Logo ${\displaystyle (f(x_{n}))}$é de Cauchy.
3. Se ${\displaystyle X}$ é compacto, então toda função contínua definida em ${\displaystyle X}$ é uniformemente contínua. Suponha por contradição que ${\displaystyle f}$ é uma função definida em ${\displaystyle X}$ e não é uniformemente contínua. Então existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$, tal que para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, podemos encontrar ${\displaystyle x_{n}\in X}$ e ${\displaystyle y_{n}\in X}$ tais que ${\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<{\dfrac {1}{n}}}$ mas ${\displaystyle |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon .}$Como ${\displaystyle X}$ é compacto, uma subsequência ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$converge para ${\displaystyle a\in X.}$ Assim temos ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n_{k}}=a.}$ Como ${\displaystyle f}$ é contínua, segue que ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n_{k}})=\lim _{n\rightarrow \infty }f(y_{n_{k}})=f(a),}$ o que contradiz ${\displaystyle |f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|\geq \varepsilon .}$ Logo ${\displaystyle f}$ é uniformemente contínua.

Exemplos

1. A função ${\displaystyle f(x)={\dfrac {1}{x}}}$não é uniformemente contínua. Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, seja ${\displaystyle \delta >0}$ escolhido. Tome um número positivo ${\displaystyle y}$ tal que ${\displaystyle y<\delta }$ e ${\displaystyle y<{\dfrac {1}{3\varepsilon }}}$. Então para ${\displaystyle x=y+{\dfrac {\delta }{2}}}$ temos ${\displaystyle |x-y|<\delta }$, mas ${\displaystyle \left|{\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {1}{y}}\right|=\left|{\dfrac {1}{y+{\dfrac {\delta }{2}}}}-{\dfrac {1}{y}}\right|=\left|{\dfrac {2}{2y+\delta }}-{\dfrac {1}{y}}\right|={\dfrac {\delta }{(2y+\delta )y}}>{\dfrac {\delta }{3\delta \cdot y}}={\dfrac {1}{3y}}>\varepsilon }$.
2. A função ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, com ${\displaystyle a\neq 0}$, é uniformemente contínua. Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, escolha ${\displaystyle \delta ={\dfrac {\varepsilon }{|a|}}}$. Então qualquer que seja ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$temos, ${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|ax-ay|=|a||x-y|<|a|\delta =\varepsilon }$.
3. A função ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$é uniformemente contínua se ${\displaystyle x}$ for limitado. De fato, se ${\displaystyle |x|\leq k}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$, dados quaisquer ${\displaystyle x,y\in X}$ temos ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x^{2}-y^{2}|=|x+y|\cdot |x-y|\leq (|x|+|y|)\cdot |x-y|\leq 2k|x-y|.}$ Logo f é lipschitziana e pela propriedade 1 é uniformemente contínua.
4. A função ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ não é uniformemente contínua. De fato, sendo ${\displaystyle x_{n}={\dfrac {n+1}{n}}}$ e ${\displaystyle y_{n}=n}$ temos ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=0}$, mas ${\displaystyle x_{n}^{3}-y_{n}^{3}\geq 3.}$
5. A função ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ definida em ${\displaystyle [0,1]}$é contínua. Como ${\displaystyle [0,1]}$ é compacto, pela propriedade 3, ${\displaystyle f}$ é uniformemente contínua.

Notas

1. No texto de Tanner e Allen, em vez de δ, é utilizada a letra η.
2. O texto de Tanner e Allen omite os símbolos de valor absoluto.