Octógono

Em geometria, o octógono é um polígono com oito lados (e portanto oito ângulos internos, oito vértices e oito ângulos externos).^[1]

Octógono
Octógono regular
Tipo	Polígono regular
Arestas e Vértices	8
Símbolo de Schläfli	{8} t{4}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Simetria diédrica (D8)
Área	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})a^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 4.828427a^{2}}$ (sendo a = comprimento da aresta)
Ângulo interno (graus)	135°
Propriedades	convexo, cíclico, equilateral, isogonal

Octógono regular

Um octógono regular tem todos os lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

Construção de um octógono regular com régua e compasso

A animação mostra a construção de um octógono regular com régua e compasso

Área de um octógono regular

A área de um octógono regular de lado 'a' é $${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)\simeq 4.82843a^{2}.}$$

Sabendo o comprimento 'm' do apótema, e considerando o octógono composto por 8 triângulos isósceles, podemos recorrer a uma fórmula mais simples

${\displaystyle A=8\times ({\frac {a\times m}{2}}).}$

Medida dos ângulos internos

${\displaystyle ai={\frac {(8-\ 2).\ 180}{8}}}$

Logo:

${\displaystyle ai={\frac {6.\ 180}{8}}}$

Então:

${\displaystyle ai={\frac {1080}{8}}=135}$

Daí conclui-se que a medida do ângulo interno de um octógono regular é 135.

Soma dos ângulos internos

${\displaystyle (n-\ 2).\ 180\rightarrow (8-\ 2).\ 180=\ 6.\ 180=\ 1080}$

Daí conclui-se que a soma dos ângulos internos de um octógono regular é 1080.

Medidas dos ângulos externos

${\displaystyle ae={\frac {Se}{n}}}$

Logo:

${\displaystyle ae={\frac {360}{8}}=45}$

Daí conclui-se que a medida do ângulo externo de um octógono regular é 45.

Medida do ângulo central

${\displaystyle ac={\frac {360}{n}}}$

Então:

${\displaystyle ac={\frac {360}{8}}=45}$

Assim, conclui-se que a medida do ângulo central de um octógono regular é 45.

Número de diagonais

${\displaystyle d={\frac {n.\ (n-\ 3)}{2}}}$

Então:

${\displaystyle d={\frac {8.\ (8-\ 3)}{2}}}$

Logo:

${\displaystyle d={\frac {8.\ 5}{2}}}$

Então:

${\displaystyle d={\frac {40}{2}}=20}$

Então, conclui-se que o número de diagonais de um octógono regular é 20.

Ver também

• Lista de construções do desenho geométrico

Referências

1. «significados.com.br - Significado de Octógono». www.significados.com.br