Transformação fracionária linear

Em matemática, uma transformação fracionária linear é, a grosso modo, uma transformação da forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

que tem um inverso.^[1] As transformações fracionais lineares são amplamente utilizadas em várias áreas da matemática e suas aplicações na engenharia, como geometria clássica, teoria dos números^[2] (elas são usadas, por exemplo, na prova de Wiles do último teorema de Fermat)^[3], teoria dos grupos^[4] e teoria de controle.^[5][6]

A definição precisa depende da natureza de a, b, c, d, e z.Em outras palavras, uma transformação fracionária linear é uma transformação representada por uma fração cujo numerador e denominador são lineares.^[7]

Na configuração mais básica, a, b, c, d, e z são números complexos (nesse caso, a transformação também é chamada de transformação de Möbius)^[8], ou mais geralmente elementos de um campo. A condição de inversibilidade é então ad – bc ≠ 0.Sobre um campo, uma transformação fracionária linear é a restrição ao campo de uma transformação projetiva ou homografia da linha projetiva.

Quando a, b, c, d são inteiros (ou, geralmente, pertencem a um domínio integral), z deve ser um número racional (ou pertencer ao corpo de frações do domínio integral. Nesse caso, a condição de inversibilidade é que ad – bc deve ser uma unidade do domínio (que é 1 ou -1 no caso de números inteiros).^[9]

Na configuração mais geral, a, b, c, d e z são matrizes quadradas ou, mais geralmente, elementos de um anel. Um exemplo dessa transformação fracionária linear é a transformada de Cayley, que foi originalmente definida no anel matricial real 3 x 3.

Referências

1. «Fractional linear transformations» (PDF)
2. Atiyah, M (24 de setembro de 2010). «Edinburgh Lectures on Geometry, Analysis and Physics» (PDF). arXiv:1009.4827v1 [math.AG]
3. «Number Theory, Analysis and Geometry» (PDF). Springer New York Dordrecht Heidelberg London. 2012. ISBN 978-1-4614-1259-5. doi:10.1007/978-1-4614-1260-1
4. Dickson, Leonard Eugene (1901). «Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field». Transactions of the American Mathematical Society. 2 (4): 363–394. ISSN 0002-9947. doi:10.2307/1986251
5. ENGELKEN, S (2012). «ON THE CHOICE OF THE UNCERTAINTY STRUCTURE IN ROBUST CONTROL PROBLEMS–A DISTANCE MEASURE APPROACH» (PDF). UNIVERSITY OF MANCHESTER
6. Havens, Christopher; Barbero, Stefano; Cerruti, Umberto; Murru, Nadir (29 de janeiro de 2020). «Linear fractional transformations and nonlinear leaping convergents of some continued fractions». Research in Number Theory (em inglês). 6 (1). 11 páginas. ISSN 2363-9555. doi:10.1007/s40993-020-0187-5
7. «Section 17.2. Linear Fractional Transformations» (PDF)
8. «The Geometry of Möbius Transformations» (PDF). University of Rochester. 2010
9. Young, N. J. (1 de janeiro de 1984). «Linear fractional transformations in rings and modules». Linear Algebra and its Applications (em inglês). 56: 251–290. ISSN 0024-3795. doi:10.1016/0024-3795(84)90131-9

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