Transformada de Cayley

Em matemática, a transformada de Cayley, em homenagem a Arthur Cayley, é um conjunto de coisas relacionadas. Como originalmente descrito por Cayley (1846), a transformada é um mapeamento entre matrizes simétricas enviesadas e matrizes ortogonais especiais.^[1][2] A transformação é uma homografia usada em análises reais, análises complexas e análises quaterniônicas.^[3][4] Na teoria dos espaços de Hilbert, a transformação de Cayley é um mapeamento entre operadores lineares.^[5][6]

Homografia real

A transformada de Cayley é um automorfismo da linha projetiva real que permite os elementos de {1, 0, −1, ∞} em sequência.^[7] Por exemplo, ele mapeia os números reais positivos para o intervalo [−1, 1]. Assim, a transformada de Cayley é usada para adaptar os polinômios de Legendre para uso com funções nos números reais positivos com funções racionais de Legendre.^[8]

Como uma homografia real, os pontos são descritos com coordenadas projetivas e o mapeamento é

${\displaystyle [y,\ 1]=[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

Homografia complexa

Transformada de Cayley do semi-plano complexo superior em disco unitário

No plano projetivo complexo, a transformada de Cayley é:^[9][10]

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

Como {∞, 1, –1 } é mapeado para {1, –i, i }, e as transformações de Möbius permitem os círculos generalizados^[11] no plano complexo, f mapeia a linha real para o círculo unitário. Além disso, como f é contínuo e i é levado a 0 por f, o semiplano superior é mapeado para o disco da unidade.^[12]

Em termos de modelos de geometria hiperbólica, essa transformação de Cayley relaciona o modelo de meio plano de Poincaré ao modelo de disco de Poincaré^[13]. Na engenharia elétrica, a transformada de Cayley foi usada para mapear um semi-plano de reatância para o gráfico de Smith usado para a correspondência de impedâncias das linhas de transmissão.

Homografia de Quaternião

No espaço quadridimensional dos quaterniões q = a + b i + c j + d k, os versores^[14]

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$ formar a unidade de esferas 3D.

Como os quatérnions são não comutativos, os elementos de sua linha projetiva têm coordenadas homogêneas escritas U (a, b) para indicar que o fator homogêneo se multiplica à esquerda. A transformação de quaternion é

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$

As homografias reais e complexas descritas acima são instâncias da homografia do quaternião em que θ é zero ou π/2, respectivamente. Evidentemente, a transformação leva u → 0 → –1 e leva –u → ∞ → 1.

Avaliar esta homografia em q = 1 mapeia o versor u em seu eixo:

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

Entretanto ${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

Por conseguinte ${\displaystyle f(u,1)={\frac {-\sin \theta }{1+\cos \theta }}r=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

Nesta forma, a transformada de Cayley foi descrita como uma parametrização racional da rotação: Deixet t = tan φ/2 na identidade numérica complexa^[15]

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

onde o lado direito é a transformação de ti e o lado esquerdo representa a rotação do plano em radianos φ negativos.

Inversa

Deixe ${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.}$ Como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$

onde a equivalência está no grupo linear projetivo^[16] sobre os quaterniões, o inverso de f(u, 1) é

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$

Como as homografias são bijeções, ${\displaystyle f^{-1}(u,1)}$ mapeia os quaterniões vetoriais para a esfera tridimensional dos versores. Como os versores representam rotações em espaços tridimensionais, a homografia f ⁻¹ produz rotações da bola em ℝ³.

Referências

1. «Cayley's parameterization of orthogonal matrices». planetmath.org. Consultado em 1 de julho de 2020
2. Trenkler, Götz; Trenkler, Dietrich (2008). «The Vector Cross Product and 4 × 4 Skew-symmetric Matrices». Heidelberg: Physica-Verlag HD: 95–104. ISBN 978-3-7908-2063-8
3. Havu, V.; Malinen, J. «Laplace and Cayley transforms – an approximation point of view». IEEE. Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control. ISBN 0-7803-9567-0. doi:10.1109/cdc.2005.1583117
4. «Lecture Note for Math 220B Complex Analysis of One Variable» (PDF)
5. Dvorsky, Alexander; Sahi, Siddhartha (31 de outubro de 2001). «Explicit Hilbert spaces for certain unipotent representations III». arXiv:math/0110339
6. Havu, V.; Malinen, J. (14 de agosto de 2007). «The Cayley Transform as a Time Discretization Scheme». Numerical Functional Analysis and Optimization. 28 (7-8): 825–851. ISSN 0163-0563. doi:10.1080/01630560701493321
7. Meserve, Bruce E. (8 de dezembro de 2014). Fundamental Concepts of Geometry (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation
8. Zhong-Qing, Wang; Ben-yu, Guo (dezembro de 2005). «A mixed spectral method for incompressible viscous fluid flow in an infinite strip». Computational & Applied Mathematics (em inglês). 24 (3): 343–364. ISSN 1807-0302. doi:10.1590/S0101-82052005000300002
9. Robert Everist Green & Steven G. Krantz (2006) Function Theory of One Complex Variable, page 189, Graduate Studies in Mathematics #40, American Mathematical Society ISBN 9780821839621
10. Erwin Kreyszig (1983) Advanced Engineering Mathematics, 5th edition, page 611, Wiley ISBN 0471862517
11. Lacroix, S. F. (1 de junho de 2016). Ensaios sobre o ensino em geral e o de Matemática em particular. [S.l.]: SciELO - Editora UNESP
12. Anthony Thompson, Juan Carlos Alvarez Paiva (7 de setembro de 2006). «On the Perimeter and Area of the Unit Disc» (PDF). web.archive.org. Consultado em 1 de julho de 2020. Cópia arquivada (PDF) em 7 de setembro de 2006
13. «hyperbolic geometry - Distance formula for points in the Poincare half plane model on a "vertical geodesic".». Mathematics Stack Exchange. Consultado em 1 de julho de 2020
14. «On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra». www.maths.tcd.ie. Consultado em 1 de julho de 2020
15. «The Cayley transform as a time discretisation scheme» (PDF). Institute of Mathematics - Helsinki University of Technology. 2 de maio de 2007
16. «PROJECTIVE REPRESENTATIONS». Cambridge University Press. 30 de junho de 2005: 149–150. ISBN 978-0-521-83703-3

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