Quaternião
uma extensão dos números complexos; uma álgebra associativa formada pelos números da forma u+xi+yj+zk, onde i, j, k são unidades imaginárias Da Wikipédia, a enciclopédia livre
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Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias (). Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.[1][2]
Conjuntos de números |
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é chamada de parte escalar do quaternião e é chamada de parte vetorial. Também dizemos que é a parte real e é a parte imaginária do quaternião. Aos números , , e denominamos coeficientes.
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Conceitos
Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...
Quaternião escalar
Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( ).
Quaternião vetorial
Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( ).
Conjugado de um quaternião
O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.
Assim, dado o número quaterniônico , seu conjugado é então:
.
Módulo
O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número , seu módulo é então:
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Operações elementares
Adição e subtração
Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:
e
temos:
Multiplicação
Produto interno ou escalar
Dados os quaterniões e , o produto interno entre eles é dado por:
Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).
Produto externo ou vetorial
Sejam e números quaterniônicos, então o produto exterior (usualmente, ) é definido como:
E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que .
Divisão
A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão e . Isso significa que a notação não pode ser usada a menos que ou seja um escalar.
- b ≠ 0.
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Representação através de matrizes
Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).
Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como
Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.
- Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
- O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
- O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.
- Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S3 e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)
. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como
Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
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Construção de Cayley-Dickson
De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então
é um quaternião.
Se u = a + i b e v = c + i d, então
- .
Além disso, seja:
- ,
tal que:
- ,
e também seja o produto dos quaterniões associativo.
Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:
Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.
Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:
Já que:
- .
Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:
- .
Então o produto qp é:
Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:
que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.
Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:
- .
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Aplicações
Rotações de vetores em 3D
A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.
Sejam v e w vetores, , e um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:
em que q é o quaternião (de módulo 1):
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Referências
Ver também
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