Quaternião

Os quaterniões ^{(português europeu)} ou quatérnios ^{(português brasileiro)} são uma extensão ${\textstyle \mathbb {H} }$ do conjunto dos números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Mais precisamente, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {H} }$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma ${\displaystyle u+xi+yj+zk\,\!}$, onde ${\displaystyle u,x,y,z\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle i\,\!}$, ${\displaystyle j\,\!}$ e ${\displaystyle k\,\!}$ são unidades imaginárias (${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,\!}$). Além disso, temos que ${\displaystyle ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j\,\!}$, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.^[1][2]

Conjuntos de números

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ Naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Irracionais ${\displaystyle \mathbb {I} }$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em ${\displaystyle \mathbb {R} }$) Reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Imaginários Complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Octoniões ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Sedeniões ${\displaystyle \mathbb {S} }$ Complexos hiperbólicos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

William Rowan Hamilton

${\displaystyle u\!\,}$ é chamada de parte escalar do quaternião e ${\displaystyle xi+yj+zk\,\!}$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que ${\displaystyle u\!\,}$ é a parte real e ${\displaystyle xi+yj+zk\,\!}$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números ${\displaystyle u\!\,}$, ${\displaystyle x\,\!}$, ${\displaystyle y\,\!}$ e ${\displaystyle z\,\!}$ denominamos coeficientes.

Conceitos

Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( ${\displaystyle q=\,\!}$ ${\displaystyle u\,\!}$ ).

Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( ${\displaystyle q=xi+yj+zk\,\!}$ ).

Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico ${\displaystyle q=u+xi+yj+zk\,\!}$, seu conjugado é então:

${\displaystyle {\overline {q}}=u-xi-yj-zk\,\!}$.

Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número ${\displaystyle q=u+xi+yj+zk\,\!}$, seu módulo é então:

${\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {u^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Operações elementares

Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

${\displaystyle q=u+xi+yj+zk\,\!}$

e

${\displaystyle p=a+bi+cj+dk\,\!}$

temos:

• ${\displaystyle q+p=\,\!}$ ${\displaystyle (u+a)+(x+b)i+(y+c)j+(z+d)k\,\,}$

• ${\displaystyle q-p=\,\!}$ ${\displaystyle (u-a)+(x-b)i+(y-c)j+(z-d)k\,\,}$

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões ${\displaystyle q=u+xi+yj+zk\,\!}$ e ${\displaystyle p=a+bi+cj+dk\,\!}$, o produto interno entre eles é dado por:

${\displaystyle qp=pq=au+bx+cy+dz\,\!}$

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

Sejam ${\displaystyle q=u+xi+yj+zk\,\!}$ e ${\displaystyle p=a+bi+cj+dk\,\!}$ números quaterniônicos, então o produto exterior ${\displaystyle qp\,\!}$ (usualmente, ${\displaystyle qp\neq pq\,\!}$) é definido como:

${\displaystyle qp=\,\!}$ ${\displaystyle (u+xi+yj+zk)\,\!}$ ${\displaystyle (a+bi+cj+dk)\,\!}$

${\displaystyle =ua+ubi+ucj+udk+xia+xibi+xicj+xidk+yja+yjbi+yjcj+yjdk+zka+zkbi+zkcj+zkdk\,\!}$

${\displaystyle =ua+ubi+ucj+udk+xai-xb+xck-xdj+yaj-ybk-yc+ydi+zak+zbj-zci-zd\,\!}$

${\displaystyle =(ua-xb-yc-zd)+(ub+xa+yd-zc)i+(uc-xd+ya+zb)j+(ud+xc-yb+za)k\,\!}$

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que ${\displaystyle qp\neq pq\,\!}$.

Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão ${\displaystyle p^{-1}q\,\!}$ e ${\displaystyle qp^{-1}\,\!}$. Isso significa que a notação ${\displaystyle q \over p\,\!}$ não pode ser usada a menos que ${\displaystyle p\,\!}$ ou ${\displaystyle q\,\!}$ seja um escalar.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a{\bar {b}}}{|b|^{2}}}}$ b ≠ 0.

Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}$

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

• Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
• O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
• O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

• Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S³ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;-c&-d\\\;\;b&\;\;a&-d&c\\\;\;c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

${\displaystyle q=u+jv\,}$

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

${\displaystyle q=a+ib+jc+jid\,}$.

Além disso, seja:

${\displaystyle ji=-ij\,}$,

tal que:

${\displaystyle q=a+ib+jc+ij(-d)\,}$,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

${\displaystyle ii=-1,\,}$

${\displaystyle ij=(ij),\,}$

${\displaystyle i(ij)=(ii)j=-j,\,}$

${\displaystyle ji=-(ij),\,}$

${\displaystyle jj=-1,\,}$

${\displaystyle j(ij)=-j(ji)=-(jj)i=i,\,}$

${\displaystyle (ij)i=-(ji)i=-j(ii)=j,\,}$

${\displaystyle (ij)j=i(jj)=-i,\,}$

${\displaystyle (ij)(ij)=-(ij)(ji)=-i(jj)i=ii=-1.\,}$

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

${\displaystyle jv=v^{*}j\,}$

Já que:

${\displaystyle jv=jc+jid=jc-(ij)d=(c-id)j=v^{*}j\,}$.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

${\displaystyle p=w+jz\,}$.

Então o produto qp é:

${\displaystyle qp=(u+jv)(w+jz)=uw+ujz+jvw+jvjz\,}$

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:

${\displaystyle (u+jv)(w+jz)=(uw-zv^{*})+j(u^{*}z+wv)\,}$

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:

${\displaystyle p=u+vj=u+jv^{*}\,}$.

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, ${\displaystyle w\neq 0\,}$, e ${\displaystyle \alpha \,}$ um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

${\displaystyle R(v)=qvq^{-1}\,}$

em que q é o quaternião (de módulo 1):

${\displaystyle q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\ {\frac {w}{\|w\|}}\,}$

Referências

1. http://www.emis.ams.org/classics/Hamilton/OnQuat.pdf
2. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm12/quaternioes.htm

Ver também

• Quaterniões hiperbólicos
• Números complexos
• Números complexos hiperbólicos
• Octoniões

• Portal da matemática