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O Hexadecácoro é um polícoro (tipo de polítopo quadridimensional) delimitado por 16 faces tetraédricas. É um dos 6 polítopos regulares convexos de 4 dimensões descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do Século XIX. Também é conhecido como C16 (derivado da denominação 16-cell em inglês), e hexadecaedroide. [1]
Hexadecácoro | |
---|---|
![]() Diagrama Schlegel | |
Tipo | Polítopo regular |
Células | 16 {3,3} ![]() |
Faces | 32 {3} ![]() |
Arestas | 24 |
Vértices | 8 |
Figura de vértice | ![]() (Octaedro) |
Símbolo de Schläfli | {3,3,4} |
Polígono de Petrie | Octágono |
Diagrama Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grupo de simetria | BC4, [3,3,4], ordem 384 D4, ordem 192 |
Dual | Tesserato |
Propriedades | convexo, isogonal, isotoxal, isoedral, quasiregular |
O hexadecácoro regular pertence a uma família infinita de polítopos, chamados de ortoplexos. Seu polítopo dual é o Tesserato (4-cubo). Possui 16 células, assim como o tesserato tem 16 vértices. É uma forma regular formada por 16 tetraedros e é análogo ao tetraedro em 3 dimensões e ao triângulo em duas. [2][3]
É delimitado por 16 células, sendo todas tetraedros regulares. Ele tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8 vértices. Os oito vértices do hexadecácoro são:
Todos os vértices são conectados por arestas, exceto os pares opostos.
O símbolo de Schläfli para o hexadecácoro é {3,3,4}. Sua figura de vértice é o octaedro regular. Há oito tetraedros, 12 triângulos e seis arestas convergindo em cada vértice. Há quatro tetraedros e quatro triângulos se encontrando em cada extremidade.
Pode-se decompor o hexadecácoro em duas disjunções como cadeias de 8 tetraedros cada, com 4 arestas. Cada cadeia
A célula 16 pode ser decomposto em dois disjuntos como cadeias de round oito tetraedros cada, quatro bordas longas. Cada cadeia, quando esticada em linha reta, forma uma hélice de Boerdijk-Coxeter. Esta decomposição pode ser visto em um 4-4 duoantiprisma a partir da construção do hexadecácoro: ou
, símbolo de Schläfli {2}⨂{2} ou s{2}s{2}, simetria [[4,2+,4]], ordem 64.
O hexadecácoro pode ser bisectado em duas pirâmides octaédricas,das quais compartilham uma nova base octaédrica através do centro do hexadecácoro. [4]
![]() Projeção estereográfica | ![]() uma projeção em 3D do hexadecácoro a partir de uma rotação simples. | ![]() O hexadecácoro tem duas construções de Wythoff, uma forma regular e uma forma alternada, mostrada aqui como uma planificação. |
Plano de Coxeter | B4 | B3 / D4 / A2 | B2 / D3 |
---|---|---|---|
Grafo | ![]() |
![]() |
![]() |
Simetria diedral | [8] | [6] | [4] |
Plano de Coxeter | F4 | A3 | |
Grafo | ![]() |
![]() | |
Simetria diedral | [12/3] | [4] |
Pode-se tesselar o hexadecácoro em um espaço euclidiano quadridimensional com 16 células regulares, produzindo o chamado favo de mel hexadecacórico, tendo símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Consequentemente, cada uma das 16 células tem um ângulo diedral de 120°. [5] A tesselação dual, o favo de mel icositetracórico ({3,4,3,3}), é feito a partir do icositetrácoro (24-cell). Juntamente com o favo de mel tesserático ({4,3,3,4}), estas são as únicas pavimentações regulares em R 4. [6]. Cada hexadecácoro contém 16 vizinhos com os quais compartilha um tetraedro, 24 vizinhos com os quais compartilha apenas uma aresta e 72 vizinhos com os quais partilha apenas um único ponto.[7][8]
Um hexadecácoro pode ser construído a partir de hélices de Boerdijk–Coxeter de 8 cadeias de tetraedros, cada uma se dobrada se tornando um anel quadridimensional. As 16 faces triangulares podem ser vistas em uma planificação 2D em um mosaico triangular, com 6 triângulos ao redor de cada vértice. As arestas em roxo representam o Polígono de Petrie do hexadecácoro. [9][10]
A primeira projeção paralela das células do hexadecácoro no espaço 3D tem um formato cúbico. As células mais próximas e as mais distantes são projetadas em tetraedros inscritos dentro do cubo, o que corresponde a duas maneiras possíveis para inscrever um tetraedro regular em um cubo. Ao redor de cada um destes há 4 outros tetraedros (não regulares). As demais 6 células são projetadas nas faces quadradas do cubo. Nessa projeção, todas as bordas convergem para as faces cúbicas.[11]
A primeira projeção em perspectiva das células do hexadecácoro no espaço 3D tem o formato de um tetraedro triakis. A disposição das células neste formato são semelhantes às da projeção paralela.
A projeção paralela dos vértices das células tem um formato octaédrico. Este octaedro pode ser dividido em 8 formas tetraédricas, por corte ao longo dos planos coordenados. Cada um destes é a imagem de um par de células presentes no hexadecácoro.
A primeira projeção das arestas das células tem um formato octaédrico encurtado, e a projeção paralela tem um formato bipiramidal hexagonal. [12][13]
A projeção usual do hexadecácoro e suas 4 esferas que o intersectam (um diagrama de Venn de 4 dimensões) forma topologicamente um mesmo objeto no espaço 3D:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Há uma forma simétrica reduzida do hexadecácoro, chamada de demitesserato ou 4-demicubo, um membro da família dos demihipercubos. e representado por h{4,3,3}, e ou
.
Há também um antiprisma tetraédrico que pode ser construído a partir de dois tetraedros paralelos em configuraç~eos duais, conectado com8 tetraedros. É representado por s{2,4,3}, e .
Também há o 4-ortótopo Snub representado por s{21,1,1}, e ou
.Com o tesserato construído como um 4-4 duoprisma, o hexadecácoro pode ser visto com seu dual como a 4-4 duopirâmide. [14]
Nome | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Schläfli | Notação de Coxeter | Ordem | Figura de vértice |
---|---|---|---|---|---|
Hexadecácoro regular | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{3,3,4} | [3,3,4] | 384 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Demitesserato | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
h{4,3,3} {3,31,1} |
[31,1,1] = [1+,4,3,3] | 192 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4-4 duoprisma alternado | ![]() ![]() ![]() ![]() |
2s{4,2,4} | [[4,2+,4]] | 64 | |
antiprisma tetraédrico | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
s{2,4,3} | [2+,4,3] | 48 | |
prisma quadrado alternado | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
sr{2,2,4} | [(2,2)+,4] | 16 | |
4-ortótopo Snub | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
s{21,1,1} | [2,2,2]+ = [21,1,1]+ | 8 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4-fusil | |||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{3,3,4} | [3,3,4] | 384 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{4}+{4} or 2{4} | [[4,2,4]] = [8,2+,8] | 128 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{3,4}+{ } | [4,3,2] | 96 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{4}+2{ } | [4,2,2] | 32 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ } | [2,2,2] | 16 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Para todo polítopo vale a relação de Euler:
Onde:
No caso do hexadecácoro, temos:
A fórmula que descreve o volume do hexadecácoro em 4D é:
Existem 3 fórmulas que descrevem a área superficial do hexadecácoro, em 3D, 2D e 1D:
O raio da esfera inscrita é:
O raio da esfera circunscrita é:
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