Fatorial
produto de todos os inteiros entre 1 e a parte inteira da entrada da função / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, denotado por n!, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a n. O fatorial de n também é igual ao produto de n e o fatorial de seu antecessor:
Por exemplo,
O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.[1]
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Março de 2019) |
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 7003504000000000000♠5040 |
8 | 7004403200000000000♠40320 |
9 | 7005362880000000000♠362880 |
10 | 7006362880000000000♠3628800 |
11 | 7007399168000000000♠39916800 |
12 | 7008479001600000000♠479001600 |
13 | 7009622702080000000♠6227020800 |
14 | 7010871782912000000♠87178291200 |
15 | 7012130767436800000♠1307674368000 |
16 | 7013209227898880000♠20922789888000 |
17 | 7014355687428096000♠355687428096000 |
18 | 7015640237370572800♠6402373705728000 |
19 | 7017121645100408832♠121645100408832000 |
20 | 7018243290200817664♠2432902008176640000 |
25 | 7025155112100400000♠1.551121004×1025 |
50 | 7064304140932000000♠3.041409320×1064 |
70 | 7100119785716700000♠1.197857167×10100 |
100 | 7157933262154400000♠9.332621544×10157 |
450 | 9000000000000000000♠1.733368733×101000 |
7003100000000000000♠1000 | 9000000000000000000♠4.023872601×102567 |
7003324900000000000♠3249 | 9000000000000000000♠6.412337688×1010000 |
7004100000000000000♠10000 | 9000000000000000000♠2.846259681×1035659 |
7004252060000000000♠25206 | 9000000000000000000♠1.205703438×10100000 |
7005100000000000000♠100000 | 9000000000000000000♠2.824229408×10456573 |
7005205023000000000♠205023 | 9000000000000000000♠2.503898932×101000004 |
7006100000000000000♠1000000 | 9000000000000000000♠8.263931688×105565708 |
7100100000000000000♠10100 | 107101995657055180894♠10101.9981097754820 |
Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de n distintos objetos: existem n!. Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.
Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).
Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.