Em matemática, o produto de todos os inteiros de 1 até algum inteiro não negativo n que tem a mesma paridade de n é chamado de duplo fatorial ou semifatorial de n e é denotado por n!!.[1] Isto é,
onde
A consequência dessa definição é que (como um produto vazio)
Por exemplo, 9!!=1×3×5×7×9 =945.
Para n par p duplo fatorial é
Para n ímpar é
A sequência de duplos fatoriais ímpares n=1,3,5,7,... é a seguinte
Merserve (1948)[2] (possivelmente a mais antiga publicação com o uso da notação de duplo fatorial)[3] afirmou que o duplo fatorial foi introduzido para simplificar as expressões de certas integrais trigonométricas que aparecem na derivação do produto de Wallis. O duplo fatorial também aparece para expressar o volume da hiperesfera e tem muitas aplicações em combinatória enumerativa.[1][4]
O termo fatorial ímpar é algumas vezes usado para o duplo fatorial de um número ímpar.[5]
Pelo fato de o duplo fatorial envolver somente aproximadamente a metade do fatorial, seu valor não é substancialmente maior que a raiz quadrada de n! e é muito menor que o fatorial iterado (n!)!.
Para um inteiro positivo n = 2k, k≥0, o duplo fatorial pode ser escrito como:
Para um inteiro ímpar n = 2k−1, k≥1, a seguinte expressão é válida:
Nessa expressão, o primeiro denominador é igual a (2k)!! e cancela com os fatores pares do numerador.
Para um inteiro positivo ímpar n = 2k−1, k≥1, o duplo fatorial pode ser expresso em termos de k-permutações de 2k como[1][3]
Argumentos para números negativos
A fatorial ordinário, quando estendido para a Função Gama, tem um polo em cada inteiro negativo, impedindo de definir o fatorial nesses números. No entanto, o duplo fatorial de números ímpares podem ser estendidos para qualquer inteiro negativo ímpar invertendo a sua relação de recorrência
que pode ser expressa da seguinte forma:
Usando essa relação de recorrência invertida, −1!!=1, −3!!=−1, e −5!!=1/3; números ímpares negativos com maiores magnitudes tem duplo fatorial fracionário.[1] Em particular, quando n é um número ímpar,
Argumentos para números complexos
Desconsiderando a definição acima de n!! para valores den pares, o duplo fatorial den ímpares pode ser estendido para a maioria dos números reais e complexos z observando que quando z é um inteiro positivo ímpar então
[6][7]
Dessa expressão pode-se derivar um definição alternativa para z!! para valores pares e não negativos de inteirosz:
com o valor de 0!!, nesse caso, sendo
A expressão encontrada para z!! é definida para todos os números complexos, exceto os inteiros pares negativos. Usando essa definição, o volume de uma hiperesfera n-dimensional de raio R pode ser expressa como[8]
Duplos fatoriais surgem com frequência em combinatória enumerativa. Por exemplo, n!! para valores ímpares de n conta:
acoplamento perfeito do grafo completoKn+1 para n ímpar. Em tal grafo, qualquer vértice v tem n possíveis escolhas de vértices que pode ser correspondido e uma das escolhas feita do problema remanescente é um acoplamento perfeito em um grafo completo com dois vértices a menos. Por exemplo, um grafo completo com 4 vértices, a, b, c, e d tem três acoplamentos perfeitos: ab e cd, ac e bd, e ad e bc.[1] Acoplamentos perfeitos pode ser descritos de vários outras maneiras, incluindo involuções sem pontos fixos em um conjunto de n+1 itens (permutações em que cada ciclo é um par)[1] ou diagramas de cordas (conjunto de cordas de um conjunto de n+1 pontos uniformemente espaçados em um círculo tal que cada ponto é extremo de exatamente uma corda, (também chamado de diagrama de Brauer).[4][9][10] O número de acoplamentos em um grafo completo, sem restrição do acoplamento ser perfeito, são dados pelo número de telefone, que podem ser expressos como a soma envolvendo duplos fatoriais.[11]
permutações de Stirling, permutações de multiconjuntos de números 1, 1, 2, 2, ..., k, k em que cada par de números iguais é separado somente por grandes números, onde k=(n+1)/2. As duas cópias de k devem ser adjacentes; removendo-as das folhas de permutações uma permutação em que o máximo de elementos é k−1, com n posições em que os valores do par adjacente de k podem ser trocados. Desta construções recursiva, a demonstração que as permutações de Stirling são countados pela duplas permutações seguem por indução.[1] Alternativamente, em vez desta restrição que valores entre um par podem ser maior que isso, pode-se também considerar a permutação destes multiconjuntos em que a primeira cópia de cada par aparece em ordem sorteada; tal permutação define um acoplamento em 2k posições de permutações, então outra vez o número de permutações podem ser contados pela dupla permutação.[4]
árvores Heap-ordered, árvores com k+1 nodos numerados 0, 1, 2, ... k, tal que a raiz da árvore tem rótulo 0, cada outro nodo tem um rótulo maior que seu parente, e tal que os filhos de cada nodo tem um ordem fixa. Um Euler tour da árvore (com aresta duplicada) dá uma permutação de Stirling, e cada permutação de Stirling representa uma árvore desta maneira.[1][12]
Para valores pares de n,
Se a extensão de duplo fatorial de números ímpares para números complexos for considerada, a fórmula é
O Duplo fatorial pode ser usando para calcular integrais de polinômios trigonométricos mais complicados.[2][13]
Alguma identidades adicionais envolvendo duplos fatoriais de números ímpares são:
Dale, M. R. T.; Moon, J. W. (1993), «The permuted analogues of three Catalan sets», Journal of Statistical Planning and Inference, 34 (1): 75–87, MR1209991, doi:10.1016/0378-3758(93)90035-5.
E.g., in Henderson, Daniel J.; Parmeter, Christopher F. (2012), «Canonical higher-order kernels for density derivative estimation», Statistics & Probability Letters, 82 (7): 1383–1387, MR2929790, doi:10.1016/j.spl.2012.03.013 and Nielsen, B. (1999), «The likelihood-ratio test for rank in bivariate canonical correlation analysis», Biometrika, 86 (2): 279–288, MR1705359, doi:10.1093/biomet/86.2.279.
Mezey, Paul G. (2009), «Some dimension problems in molecular databases», Journal of Mathematical Chemistry, 45 (1): 1–6, doi:10.1007/s10910-008-9365-8.
Dale, M. R. T.; Narayana, T. V. (1986), «A partition of Catalan permuted sequences with applications», Journal of Statistical Planning and Inference, 14 (2): 245–249, MR852528, doi:10.1016/0378-3758(86)90161-8.
Dassios, George; Kiriaki, Kiriakie (1987), «A useful application of Gauss theorem», Bulletin de la Société Mathématique de Grèce, 28 (part A): 40–43, MR935868.