Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus^[1].

Jednakowa ciągłość

Dalej ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ przekształceń liniowych przestrzeni ${\displaystyle X}$ w przestrzeń ${\displaystyle Y}$ nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera ${\displaystyle W\subseteq Y}$ istnieje takie otoczenie zera ${\displaystyle U\subseteq X,}$ że

${\displaystyle \Lambda (U)\subseteq W}$

dla każdego ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}.}$ W przypadku gdy ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są przestrzeniami unormowanymi, to rodzina ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle (\exists M>0)(\forall \Lambda \in {\mathcal {L}})(\|\Lambda \|\leqslant M).}$

Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni ${\displaystyle X}$ w przestrzeń ${\displaystyle Y.}$ Jeżeli zbiór

${\displaystyle F=\{x\in X\colon {\mbox{zbiór }}\{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}{\mbox{ jest ograniczony}}\}}$

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór ${\displaystyle F}$ jest całą przestrzenią.

Wnioski

• Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli ${\displaystyle X}$ jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ zbiór ${\displaystyle \{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}}$ jest ograniczony, to ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest rodziną jednakowo ciągłą.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest F-przestrzenią oraz ${\displaystyle \{\Lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}}$ jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni ${\displaystyle X}$ i o wartościach w przestrzeni ${\displaystyle Y,}$ który jest punktowo zbieżny do przekształcenia ${\displaystyle \Lambda ,}$ to przekształcenie ${\displaystyle \Lambda \colon X\to Y}$ jest operatorem liniowym i ciągłym.
• Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).