Operator liniowy ograniczony

Operator ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

• ${\displaystyle T}$ jest operatorem liniowym,
• ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są przestrzeniami unormowanymi,
• istnieje pewna liczba nieujemna ${\displaystyle C,}$ taka że dla każdego ${\displaystyle x}$ należącego do ${\displaystyle X}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leqslant C\|x\|_{X}.}$

Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma ${\displaystyle \|Tx\|_{Y}}$ była mniejsza od pewnej liczby ${\displaystyle C}$ dla wszystkich wektorów ${\displaystyle x,}$ tj.

${\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leqslant C,}$

co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np. ${\displaystyle Tx=\sin(x).}$

Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora ${\displaystyle x}$ istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

${\displaystyle \|Tx'\|_{Y}\leqslant C,}$

gdzie ${\displaystyle x'}$ należy do otoczenia wektora ${\displaystyle x.}$

Normą operatora ${\displaystyle T}$ nazywa się najmniejszą liczbę ${\displaystyle C}$ spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

Warunki równoważne

Jeżeli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle T}$ jest operatorem ograniczonym,
2. ${\displaystyle T}$ jest operatorem jednostajnie ciągłym,
3. ${\displaystyle T}$ jest operatorem ciągłym,
4. ${\displaystyle T}$ jest operatorem ciągłym w pewnym punkcie przestrzeni ${\displaystyle X}$ (na przykład w zerze).

Przykłady

Operatory ograniczone

(1) Operator jednostkowy ${\displaystyle I}$ ograniczony, tj.

${\displaystyle Ix=x\quad (x\in X).}$

Jeżeli ${\displaystyle X=Y\equiv R}$ oraz ${\displaystyle \|y\|_{Y}=|y|}$ i ${\displaystyle \|x\|_{X}=|x|,}$ to normą operatora ${\displaystyle I}$ jest liczba ${\displaystyle C=1,}$ gdyż dla wszystkich ${\displaystyle x}$ spełniony jest warunek ${\displaystyle \|Ix\|_{Y}\leqslant 1*\|x\|_{X}.}$

(2) Operator skończenie wymiarowy, tj. działający między przestrzeniami skończenie wymiarowymi jest ograniczony; operator ten może być reprezentowany przez macierz, a jego działanie na wektor wyrażone jako mnożenie wektora – zapisanego w postaci kolumny – przez tę macierz.

(3) Operator zwarty jest ograniczony.

Operatory nieograniczone

(1) Operator liczby cząstek dla bozonów nie jest operatorem ograniczonym, gdyż liczba bozonów może być dowolnie duża.

Twierdzenia

Tw. 1. Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły (lub z powodu liniowości – jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w zerze).

Tw. 2. Przestrzeń liniowa ${\displaystyle B(X,Y)}$ wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y,}$ wyposażona w normę operatorową jest przestrzenią unormowaną, która jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Banacha.

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta

Linki zewnętrzne

• Jan Dereziński, Teoria operatorów liniowych w przestrzeniach Banacha, fuw.edu.pl.
• Bounded operator (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].