Czworościan foremny

Czworościan foremny a. tetraedr (z gr.)^[1] – czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).

Czworościan foremny

Przykładowe siatki czworościanu foremnego

Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych)

Siatka czworościanu foremnego z zakładkami umożliwiającymi sklejenie

Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.

Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni^{[uwaga 1]}. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi, uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.

Wzory i własności

W poniższych wzorach ${\displaystyle a}$ oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego.

Pole powierzchni całkowitej:

${\displaystyle S={\sqrt {3}}\ a^{2}\approx 1{,}7321\ a^{2}.}$

Objętość:

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\ a^{3}\approx 0{,}1179\ a^{3}.}$

Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:

${\displaystyle h=a\ {\frac {\sqrt {24}}{6}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\ a\approx 0{,}8165\ a.}$

Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 54{,}7356^{\circ }.}$

Promień kuli opisanej:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\ a\approx 0{,}6124\ a.}$

Promień kuli wpisanej:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\ a\approx 0{,}2041\ a.}$

Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:

${\displaystyle \delta ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\ a\approx 0{,}3536\ a.}$

Zależności między promieniami ${\displaystyle R,\;r,\;\delta }$

${\displaystyle R=3\cdot r,\;R={\tfrac {3}{4}}h,\;r={\tfrac {1}{4}}h}$^{[uwaga 2]},

${\displaystyle \delta ={\sqrt {R\cdot r}}.}$

Miara kąta między ścianami:

${\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }.}$

Czworościan foremny ma:

• 6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
• 3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
• 4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany.

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Czworościan foremny

• dwunastościan
• dwudziestościan

Uwagi

1. Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany.
2. Wzory te są 3-wymiarową kontynuacją wzorów dla trójkąta równobocznego, w których promień okręgu opisanego jest ${\displaystyle 2/3}$ jego wysokości a promień okręgu wpisanego jest ${\displaystyle 1/3}$ jego wysokości, patrz ogólna zależność dla sympleksów.

Przypisy

1. tetraedr, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].

Linki zewnętrzne

• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (10): Trzy rozwiązania pewnego zadania, „Delta”, grudzień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].