Relacja symetryczna – relacja, która jest identyczna z perspektywy wszystkich wchodzących w jej skład elementów. Jeśli zachodzi dla pary
to zachodzi też dla pary ![{\displaystyle (y,x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c916ef96f19b865faf3a5ec6398efe289381a587)
Relację dwuczłonową
nazywa się symetryczną, gdy[1]:
![{\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow y\;\varrho \;x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c7dcb5b95171918be25542e16b73cd903c5c73)
W powyższej definicji można też zamienić implikację
na równoważność
– jej znaczenie nie zmieni się. Inna definicja mówi, że relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności: ![{\displaystyle R^{-1}\subset R.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4422ca0af4aa57a99f18a0d4d341158bfc33ecac)
Jeśli relacja jest równocześnie symetryczna i antysymetryczna, to zachodzi:
![{\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow x=y)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbddae412c7e474484c55291d4657b23472efc69)
i relacja taka jest wtedy podzbiorem relacji równości.
Relacje symetryczne w matematyce:
- każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru,
- relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość,
- relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe,
- relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów),
- relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo,
- relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność;
- relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm,
- relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm,
- relacja między krzywymi: homotopia,
- relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość,
- relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie,
- relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).
Przykłady spoza matematyki:
- relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi,
- izomeria molekuł,
- komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA),
- bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi,
- bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi,
- konkurencja ekologiczna i ekonomiczna,
- symbioza,
- bycie miastami partnerskimi,
- stosunki dyplomatyczne.
Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:
- bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.