Relacja odwrotna

Relacja odwrotna, konwers relacji^[2] – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech ${\displaystyle R\subset X\times Y.}$ Wtedy relacją odwrotną do ${\displaystyle R}$ nazywa się^[3][4]:

${\displaystyle R^{-1}:=\left\{(y,x)\in Y\times X:\,(x,y)\,\in \,R\right\}.}$

Pojęcia męża i żony to w niektórych krajach relacje odwrotne – można być mężem tylko dla żony i odwrotnie.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej oraz funkcja kwadratu z taką samą dziedziną to relacje odwrotne^[1].

Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejności^[5][6][1]: ${\displaystyle yR^{-1}x\Leftrightarrow xRy.}$ Inne oznaczenie to ${\displaystyle {\breve {R}}}$^[2].

Odwracanie relacji jest inwolucją^[7]: ${\displaystyle (R^{-1})^{-1}=R.}$ Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod^[6], przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematyce – podzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności^[3][7].

Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcji^[1].

Własności algebraiczne

Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(X),\cup )}$ odwracanie jest endomorfizmem^[7]:

${\displaystyle (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}.}$

Podobne własności zachodzą dla przekroju^[7] i różnicy zbiorów^[8]:

${\displaystyle (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1},}$

${\displaystyle (R\setminus S)^{-1}=R^{-1}\setminus S^{-1}.}$

Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersu^[8]:

${\displaystyle (R')^{-1}=(R^{-1})'.}$

Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmem^[7][9]:

${\displaystyle (S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}.}$

Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności ${\displaystyle R^{-1}\circ R\neq {\text{id}}.}$ Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji^[3][10].

Przypisy

1. Grzegorczyk 1969 ↓, s. 19.
2. Stanosz 2012 ↓, s. 111.
3. Binary relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].
4. Wrzosek 2016 ↓, s. 43.
5. Converse (ang.), Encyklopedia Britannica, britannica.com [dostęp 2023-08-05].
6. Fraser MacBride, Relations, 1. Preliminary Distinctions (ang.), plato.stanford.edu, 28 października 2020 [dostęp 2023-08-05].
7. Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].
8. Stanosz 2012 ↓, s. 112.
9. Smoluk 2017 ↓, s. 34.
10. Functional relation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-05].

Bibliografia

• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.