Moduł dualny

Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych^[a], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja

Niech ${\displaystyle M,N}$ będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym ${\displaystyle R.}$ Zbiór ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,N)}$ wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) ${\displaystyle M\to N}$ sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do ${\displaystyle M}$ względem ${\displaystyle N}$^[b]. Jeśli ${\displaystyle N=R,}$ to ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,R)}$ nazywa się po prostu modułem dualnym do ${\displaystyle M,}$ bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej ${\displaystyle M,}$ czyli modułu nad ciałem ${\displaystyle R;}$ zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem ${\displaystyle M^{\star }}$^[c].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(X,Y)}$ będzie zapisywane po prostu ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y).}$

Sumy i produkty proste

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: ${\displaystyle (M\oplus N)^{\star }\simeq M^{\star }\oplus N^{\star }}$^[d]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli ${\displaystyle (M_{i})}$ jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm ${\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\simeq \prod M_{i}^{\star }}$^[e][f]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie ${\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }}$ będące iniekcją^[g], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny ${\displaystyle M}$ nad ${\displaystyle R}$ rangi ${\displaystyle n>0}$ ma postać ${\displaystyle M\simeq R^{n}.}$ Moduł ${\displaystyle M^{\star }}$ dualny do niego również jest tej postaci^[h][i]; jeśli ${\displaystyle M}$ jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to ${\displaystyle M^{\star }}$ nie musi być wolny^[j].

Bazy dualne

Niech ${\displaystyle M\simeq R^{n},}$ wtedy też ${\displaystyle M^{\star }\simeq R^{n}}$ (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})}$ w ${\displaystyle M}$ sprawia, że każda forma liniowa ${\displaystyle \varphi \in M^{\star }}$ jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy ${\displaystyle M}$ odwzorowując ${\displaystyle \varphi \in M^{\star }}$ w element ${\displaystyle (\varphi ({\mathsf {e}}_{1}),\dots ,\varphi ({\mathsf {e}}_{n}))\in R^{n}}$ – jest to zanurzenie ${\displaystyle M^{\star }\to R^{n},}$ które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element ${\displaystyle R^{n}}$): jeśli ${\displaystyle \varphi _{i}(c_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +c_{n}{\mathsf {e}}_{n})}$ są rzutami względem bazy ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})}$ na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy ${\displaystyle {\mathsf {e}}_{i};}$ oznacza to, że ${\displaystyle M^{\star }\to R^{n}}$ jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę ${\displaystyle M^{\star }.}$

Bazą dualną do bazy ${\displaystyle {\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{n}}$ modułu ${\displaystyle M}$ nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami ${\displaystyle {\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{n}^{\star }}$ (wyżej: ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}}$). Wspomniane formy liniowe ${\displaystyle M\to R}$ wyznaczone są za pomocą warunków:

${\displaystyle {\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {e}}_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j,\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{ij}}$ jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność

Zobacz też: transformacja naturalna.

W powyższym przypadku izomorfizm między ${\displaystyle M^{\star }}$ a ${\displaystyle M}$ zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem ${\displaystyle M}$ a modułem ${\displaystyle M^{\star \star }=\left(M^{\star }\right)^{\star },}$ nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu ${\displaystyle M.}$

Element ${\displaystyle M^{\star \star }}$ jest przekształceniem liniowym ${\displaystyle M^{\star }\to R.}$ Obliczenie wartości dla dowolnego elementu ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ jest przekształceniem ${\displaystyle M^{\star }\to R,}$ które jest liniowe,

${\displaystyle (\varphi +\psi )({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}})+\psi ({\mathsf {m}})\quad {\text{oraz}}\quad (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}}),}$

wprost z definicji. Niech ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\colon \varphi \mapsto \varphi ({\mathsf {m}})}$ będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\in M^{\star \star }.}$ Przekształcenie ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ dane wzorem ${\displaystyle {\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}}$ jest addytywne, gdyż

${\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}')=\varphi ({\mathsf {m}})+\varphi ({\mathsf {m}}')=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}(\varphi )+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}(\varphi )=(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'})(\varphi ),}$

czyli ${\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}}$ (kluczowe jest, iż elementy ${\displaystyle M^{\star }}$ są addytywne!); podobnie ${\displaystyle \mathrm {ev} _{c{\mathsf {m}}}=c\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},}$ co oznacza, że odwzorowanie ${\displaystyle {\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}}$ jest przekształceniem liniowym ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ dla dowolnego modułu ${\displaystyle M}$ – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli ${\displaystyle M}$ jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ jest izomorfizmem^[k], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą ${\displaystyle M^{\star \star }}$ dualną do bazy dualnej ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star })}$ modułu dualnego ${\displaystyle M^{\star }}$ jest baza ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}),}$ istotnie:

${\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{i}}({\mathsf {e}}_{j}^{\star })={\mathsf {e}}_{j}^{\star }({\mathsf {e}}_{i})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j.\end{cases}}}$

Moduły ${\displaystyle M,}$ dla których istnieje izomorfizm ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne

Niech ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na ${\displaystyle M}$ w formy liniowe na ${\displaystyle N,}$ mianowicie: jeśli ${\displaystyle \varphi \in N^{\star },}$ to ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} \in M^{\star }.}$ Odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }}$ dane wzorem

${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L} }$

jest liniowe^[l] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do ${\displaystyle \mathrm {L} }$^[m].

Przekształcenie ${\displaystyle (\cdot )^{\star }\colon \mathrm {Hom} (M,N)\to \mathrm {Hom} \left(N^{\star },M^{\star }\right),}$ nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem ${\displaystyle \mathrm {L} \mapsto \mathrm {L} ^{\star }}$ również jest liniowe^[n], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność^[o] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli ${\displaystyle \mathrm {L} _{1}\colon M\to N}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} _{2}\colon N\to P}$ są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne ${\displaystyle P^{\star }\to M^{\star }}$ do złożenia ${\displaystyle \mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1}\colon M\to P}$ dane jest wzorem ${\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }}$^[p]. Wynika stąd, że jeżeli ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ jest izomorfizmem modułów, to ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }}$ jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto ${\displaystyle \left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{-1}=\left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }}$^[q].

Jeśli ${\displaystyle M,N}$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie ${\displaystyle (\cdot )^{\star }}$ jest izomorfizmem^[r][s], a każde przekształcenie liniowe ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ można utożsamiać z ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }\colon N^{\star \star }\to M^{\star \star }}$ poprzez izomorfizm naturalny^[t][u]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio ${\displaystyle E=({\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{m})}$ oraz ${\displaystyle F=({\mathsf {f}}_{1},\dots ,{\mathsf {f}}_{n}),}$ przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno ${\displaystyle E^{\star }=({\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{m}^{\star })}$ oraz ${\displaystyle F^{\star }=({\mathsf {f}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {f}}_{m}^{\star }),}$ to macierze ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathrm {M} (\mathrm {L} )_{E}^{F}}$ typu ${\displaystyle n\times m}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathrm {M} (\mathrm {L} ^{\star })_{F^{\star }}^{E^{\star }}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ reprezentujące ${\displaystyle \mathrm {L} }$ i ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej^[v].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem ${\displaystyle R,}$ kolejno ${\displaystyle (c\mathbf {A} +d\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+d\mathbf {B} ^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle (c\mathbf {I} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {I} ^{\mathrm {T} }}$ oraz ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }=(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}}$ dla dowolnych macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,}$ dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli ${\displaystyle \mathrm {L} }$ jest „na”, to ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „1-1”^[w]. Jeśli ${\displaystyle \mathrm {L} }$ jest różnowartościowe, to ${\displaystyle M}$ można postrzegać jako podmoduł ${\displaystyle N,}$ tzn. ${\displaystyle M\simeq \mathrm {L} (M)\subseteq N;}$ dla ${\displaystyle \varphi \in N^{\star }}$ przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L} }$ jest z tego punktu widzenia zawężeniem ${\displaystyle \varphi }$ do podmodułu ${\displaystyle \mathrm {L} (M)\subseteq N.}$ Fakt, iż odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „na” oznacza, że każda forma liniowa ${\displaystyle \psi \colon M\to R}$ jest postaci ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} ,}$ co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe ${\displaystyle \mathrm {L} (M)\to R}$ można przedłużyć do przekształcenia liniowego ${\displaystyle N\to R,}$ a więc ${\displaystyle N}$ ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu ${\displaystyle \mathrm {L} (M)\subseteq N}$ przedłużają się do elementów modułu dualnego do ${\displaystyle N.}$ W ogólności własność ta nie zachodzi^[x]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – ${\displaystyle R}$ jest ciałem: niech ${\displaystyle M,N}$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem ${\displaystyle K,}$ wtedy jeśli przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ jest „1-1”, to ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „na”^[y] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ dla modułów ${\displaystyle M,N}$ jest „1-1”, a ${\displaystyle \mathrm {L} (M)}$ jest składnikiem prostym ${\displaystyle N,}$ to ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „na”^[z][aa].

Przestrzenie liniowe

Zobacz też: przestrzeń funkcyjna i przestrzeń dualna ciągłych form liniowych.

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

${\displaystyle \dim _{K}V<\dim _{K}V^{\star }<\dim _{K}V^{\star \star },}$

co oznacza, że w ogólności ${\displaystyle V}$ nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną ${\displaystyle V^{\star \star }}$ (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne ${\displaystyle V\to V^{\star \star }}$ jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe ${\displaystyle V}$ nad ciałami liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną ${\displaystyle V'}$ definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na ${\displaystyle V,}$ które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna ${\displaystyle V'}$ jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna ${\displaystyle V^{\star }}$ i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi ${\displaystyle V'=V^{\star },}$ gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na ${\displaystyle V.}$

Przykłady

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ są rzuty na współrzędne standardowe:

${\displaystyle c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}\mapsto c_{i}.}$

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ dana będzie forma ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ wzorem

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+\ldots +v_{n}w_{n}.}$

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc ${\displaystyle \mathbf {v} }$ będące wektorami bazy standardowej ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$ Izomorfizm ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }}$ ustala przekształcenie ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \varphi _{\mathbf {v} },}$ tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi^[ab]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem ${\displaystyle R^{n}}$ (wystarczy wyżej zamienić „wektor” ${\displaystyle \mathbf {u} }$ na „element” ${\displaystyle {\mathsf {u}}}$ oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności ${\displaystyle R^{\star }=\mathrm {Hom} (R,R)}$ jest izomorficzny z ${\displaystyle R}$ w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe ${\displaystyle R\to R}$ jest postaci ${\displaystyle \varphi _{a}(r)=ar}$ dla danego ${\displaystyle a\in R}$^[ac].

Niech ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ tj. rozważane ${\displaystyle R}$-moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej ${\displaystyle A}$ jej ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-dualną do niej jest ${\displaystyle A^{\star }=\mathrm {Hom} (A,\mathbb {Z} ).}$ Jeśli ${\displaystyle A=\mathbb {Z} ^{n},}$ to ${\displaystyle A^{\star }}$ można utożsamiać z ${\displaystyle A}$ za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli ${\displaystyle A=\mathbb {Q} }$ będzie traktowana jako ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-moduł, to ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} )}$ jest trywialny^[ad]; traktując z kolei ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jako przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-liniową otrzymuje się nietrywialną ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} )}$^[ae] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest skończoną grupą abelową, to jej ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-dualna jest zerowa^[af][ag]; przykładowo: jeśli ${\displaystyle A=\mathbb {Z} \oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),}$ to ${\displaystyle A^{\star }\simeq \mathbb {Z} ^{\star }\oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\star }=\mathbb {Z} ^{\star },}$ a ponieważ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\star }\simeq \mathbb {Z} }$ z pierwszego przykładu, to ${\displaystyle A}$ składa się z funkcji ${\displaystyle f_{k}(x,y)=kx}$ dla różnych ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech ${\displaystyle R}$ będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle I}$ będzie ideałem w ${\displaystyle R.}$ Wówczas ${\displaystyle I^{\star }=\mathrm {Hom} (I,R)}$ można interpretować jako ${\displaystyle \{c\in K\colon cI\subseteq R\}}$^[ah]. Jeżeli ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [X],}$ zaś ${\displaystyle I=(2,X)}$ jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ ${\displaystyle 2,X}$ są w niej względnie pierwsze, to

${\displaystyle I^{\star }={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon fI\subseteq R{\big \}}={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon 2f\in \mathbb {Z} [X]{\text{ i }}Xf\in \mathbb {Z} [X]{\big \}}=\mathbb {Z} [X],}$

tj. jedynymi przekształceniami ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$-liniowymi ${\displaystyle (2,X)\to \mathbb {Z} [X]}$ są mnożenia ${\displaystyle h\mapsto gh}$ dla ${\displaystyle g\in \mathbb {Z} [X].}$

Niech ${\displaystyle R=\mathbb {R} ,}$ a ${\displaystyle M=N=\mathbb {C}$ ;} baza dualna ${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ do bazy standardowej ${\displaystyle \{1,i\}}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} }$-liniowej ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest postaci ${\displaystyle \{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}}$^[ai]. Niech odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {L} \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ dane będzie wzorem ${\displaystyle \mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}};}$ jest ono ${\displaystyle \mathbb {R} }$-liniowe, przy czym ${\displaystyle \mathrm {L} (1)=3+i}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} (i)=-1+i.}$ W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {L} }$ reprezentowane jest za pomocą macierzy ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&-1\\1&\ 1\end{smallmatrix}}\right].}$ Macierzą ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ w bazie ${\displaystyle \{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ jest macierz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ 3&1\\-1&1\end{smallmatrix}}\right]}$ transponowana do macierzy odwzorowania ${\displaystyle \mathrm {L} }$^[aj] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli ${\displaystyle R=\mathbb {R} ,}$ zaś ${\displaystyle M=\mathbb {R} [X]}$ oraz ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{2},}$ a ponadto ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ dane jest wzorem ${\displaystyle \mathrm {L} f(X)=f(0),f(1),}$ to odwzorowanie ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ dane wzorem ${\displaystyle \varphi (x,y)=2x+3y}$ należy do przestrzeni dualnej do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ a złożenie ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} ,}$ które przeprowadza ${\displaystyle f(X)}$ na ${\displaystyle 2f(0)+3f(1)}$ należy do przestrzeni dualnej do ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ – złożeniem tym jest ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi ).}$

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ciałem skończonym (np. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ dla liczby pierwszej ${\displaystyle p}$), a zbiór ${\displaystyle V=\bigoplus K}$ będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy ${\displaystyle K.}$ Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór ${\displaystyle V^{\star }\simeq \prod (K^{\star })}$ jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia ${\displaystyle \bigoplus K\hookrightarrow \prod K}$ jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: ${\displaystyle \left(\prod K\right)^{\star }\to \!\!\!\!\!\to \left(\bigoplus K\right)^{\star }=V^{\star };}$ w ten sposób ${\displaystyle \left(\prod K\right)^{\star }}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ ${\displaystyle K^{\star }\simeq K}$ jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz ${\displaystyle V^{\star \star }\simeq \left(\prod K^{\star }\right)^{\star }\simeq \left(\prod K\right)^{\star },}$ to ${\displaystyle V^{\star \star }}$ jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne ${\displaystyle V\to V^{\star \star }}$ (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• para dualna

Uwagi

1. Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
2. Jeśli ${\displaystyle R}$ nie byłby przemienny, to wzór ${\displaystyle (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}})}$ definiuje przekształcenie ${\displaystyle M\to N,}$ które nie musi być liniowe.
3. Niekiedy spotyka się oznaczenie ${\displaystyle M^{\vee }.}$
4. Jeśli ${\displaystyle \varphi \in (M\oplus N)^{\star },}$ to ${\displaystyle f\in M^{\star },g\in N^{\star }}$ dane wzorami ${\displaystyle f({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {0}}),g({\mathsf {n}})=\varphi ({\mathsf {0}},{\mathsf {n}})}$ umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego ${\displaystyle (M\oplus N)^{\star }\to M^{\star }\oplus N^{\star }}$ wzorem ${\displaystyle \varphi \mapsto (f,g).}$ Na odwrót, jeśli ${\displaystyle (f,g)\in M^{\star }\oplus N^{\star },}$ to przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon M\oplus N\to R}$ dane wzorem ${\displaystyle \varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {n}})=f({\mathsf {m}})+g({\mathsf {n}})}$ definiuje formę ${\displaystyle \varphi \in (M\oplus N)^{\star }.}$ Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego ${\displaystyle M^{\star }\oplus N^{\star }\to (M\oplus N)^{\star }}$ odwrotnego do powyższego.
5. Jeśli ${\displaystyle \varphi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star },}$ tzn. ${\displaystyle \varphi \colon \bigoplus M_{i}\to R,}$ to ${\displaystyle M_{i}}$ można postrzegać jako podmoduł ${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$ w standardowy sposób; wówczas zawężenie ${\displaystyle \varphi |_{M_{i}}}$ jest przekształceniem liniowym należącym do produktu ${\displaystyle \prod M_{i}^{\star },}$ przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej ${\displaystyle M_{i}^{\star }.}$ Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego ${\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }}$ danego wzorem ${\displaystyle \varphi \mapsto (\varphi |_{M_{i}}).}$ Niech dla dowolnego ${\displaystyle (\psi _{i})\in \prod M_{i}^{\star }}$ dany będzie ${\displaystyle \psi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }}$ wzorem ${\displaystyle \psi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \psi _{i}({\mathsf {m}}_{i}).}$ Suma ta jest skończona, gdyż ${\displaystyle ({\mathsf {m}}_{i})}$ należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie ${\displaystyle {\mathsf {m}}_{i}}$ (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do ${\displaystyle \bigoplus M_{i}.}$ Stąd odwzorowanie ${\displaystyle (\psi _{i})\mapsto \psi }$ jest przekształceniem liniowym ${\displaystyle \prod M_{i}^{\star }\to \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }}$ odwrotnym do skonstruowanego na początku.
6. W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: ${\displaystyle \mathrm {Hom} \left(\bigoplus M_{i},N\right)\simeq \prod \mathrm {Hom} (M_{i},N).}$ Przyjęcie ${\displaystyle N=R}$ daje pierwotne stwierdzenie.
7. Niech ${\displaystyle (\varphi _{i})\in \bigoplus M_{i}^{\star },}$ a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia ${\displaystyle \varphi _{i}}$ są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe ${\displaystyle \varphi }$ w produkt prosty wzorem ${\displaystyle \varphi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i}),}$ przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja ${\displaystyle (\varphi _{i})\mapsto \varphi }$ jest odwzorowaniem liniowym z ${\displaystyle \bigoplus M_{i}^{\star }}$ w ${\displaystyle \left(\prod M_{i}\right)^{\star }}$ – jest ono iniektywne, gdyż ${\displaystyle (\varphi _{i})}$ można odzyskać z ${\displaystyle \varphi }$ przyjmując ${\displaystyle \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i})=\varphi ({\mathsf {m}}),}$ gdzie wszystkie współrzędne poza ${\displaystyle i}$-tą równą ${\displaystyle {\mathsf {m}}_{i}}$ są zerowe.
8. Przypadek ${\displaystyle n=0}$ dający ${\displaystyle M=0}$ jest trywialny: wówczas ${\displaystyle M^{\star }=0,}$ gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym ${\displaystyle 0\to R}$ jest forma zerowa.
9. Jeżeli ${\displaystyle M\simeq R^{n},}$ to ${\displaystyle M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }\simeq R^{n}.}$ Jeśli ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to R^{n}}$ jest izomorfizmem, to izomorfizm ${\displaystyle M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }}$ dany jest poprzez ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi \circ \mathrm {L} ,}$ gdzie ${\displaystyle \varphi \colon R^{n}\to R}$ jest formą liniową, a izomorfizm ${\displaystyle \varphi _{\mathsf {p}}\colon R^{n}\to \left(R^{n}\right)^{\star }}$ ma postać ${\displaystyle \varphi _{\mathsf {p}}({\mathsf {q}})=\langle {\mathsf {p}},{\mathsf {q}}\rangle =\sum p_{i}q_{i}.}$
10. Niech ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ zaś ${\displaystyle M=\bigoplus \mathbb {Z} }$ będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas ${\displaystyle M^{\star }=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {Z} )}$ jest izomorficzny z ${\displaystyle \prod \mathbb {Z} ,}$ który nie jest ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modułem wolnym. Jeśli ${\displaystyle \prod \mathbb {Z} }$ byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech ${\displaystyle N\subseteq \prod \mathbb {Z} }$ będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych ${\displaystyle (a_{i}),}$ że najwyższa potęga ${\displaystyle 2}$ dzieląca ${\displaystyle a_{k}}$ dąży do ${\displaystyle \infty }$ dla ${\displaystyle k\to \infty }$ (przykładami są ${\displaystyle a_{k}=2^{k},}$ czy ${\displaystyle a_{k}=k!,}$ jak również dowolny ciąg, dla którego ${\displaystyle a_{k}=0}$ dla dużych wszystkich ${\displaystyle k;}$ kontrprzykładem jest ${\displaystyle a_{k}=k}$). Niech ${\displaystyle {\mathsf {e}}_{i}\in N}$ ma ${\displaystyle i}$-tą współrzędną równą ${\displaystyle 1,}$ a pozostałe równe ${\displaystyle 0.}$ Elementy te nie tworzą bazy ${\displaystyle N,}$ gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element ${\displaystyle N/2N}$ ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje ${\displaystyle {\overline {{\mathsf {e}}_{i}}}}$ w ${\displaystyle N/2N}$ generują ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę ${\displaystyle N/2N,}$ skąd ${\displaystyle N/2N}$ ma przeliczalny wymiar nad ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ Jeżeli ${\displaystyle N}$ byłby wolny, to niech ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ oznacza ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-bazę modułu ${\displaystyle N;}$ wówczas ${\displaystyle N=\bigoplus \mathbb {Z} \alpha _{i},}$ czyli ${\displaystyle N/2N=\bigoplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ){\overline {\alpha _{i}}}.}$ Ponieważ ${\displaystyle N/2N}$ ma przeliczalny wymiar nad ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ to zbiór wskaźników (dla ${\displaystyle i}$) również musi być przeliczalny, a więc ${\displaystyle N}$ ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ co daje przeliczalność ${\displaystyle N.}$ Z drugiej jednak strony funkcja ${\displaystyle \prod \mathbb {Z} \to N}$ dana wzorem ${\displaystyle (a_{i})\mapsto (2^{i}a_{i})}$ jest iniektywna, a więc ${\displaystyle N}$ jest nieprzeliczalny, gdyż ${\displaystyle \prod \mathbb {Z} }$ jest nieprzeliczalny. Stąd ${\displaystyle N}$ nie jest wolny, a co za tym idzie ${\displaystyle \prod \mathbb {Z} }$ również.
11. Niech ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})}$ będzie bazą ${\displaystyle M,}$ a ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star })}$ będzie stowarzyszoną z nią bazą ${\displaystyle M^{\star }.}$ Każdy niezerowy element ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem ${\displaystyle e_{i}^{\star }({\mathsf {m}})\neq 0}$ dla pewnego ${\displaystyle i.}$ Stąd ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\neq 0,}$ co oznacza, że ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}}$ jest niezerowym elementem ${\displaystyle M^{\star \star }.}$ Tym samym jedynym ${\displaystyle {\mathsf {m}},}$ dla którego ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}}$ jest zerem w ${\displaystyle M^{\star \star }}$ jest element ${\displaystyle 0,}$ skąd wynika, że dane odwzorowanie ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element ${\displaystyle M^{\star \star }}$ jest pewnym ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}};}$ niech ${\displaystyle f\in M^{\star \star },}$ należy wskazać ${\displaystyle {\mathsf {m}},}$ dla którego ${\displaystyle f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},}$ tj. ${\displaystyle f(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}})}$ dla dowolnego ${\displaystyle \varphi \in M^{\star }.}$ Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na ${\displaystyle \varphi ,}$ to wystarczy wyznaczyć ${\displaystyle {\mathsf {m}},}$ które spełnia to równanie dla ${\displaystyle \varphi }$ przebiegającego bazę dualną ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star }),}$ która rozpina ${\displaystyle M^{\star }.}$ Niech ${\displaystyle a_{i}=f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\in R}$ oraz ${\displaystyle {\mathsf {m}}=\sum a_{i}{\mathsf {e}}_{i}\in M.}$ Wówczas ${\displaystyle f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })=a_{i}={\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {m}}),}$ czyli ${\displaystyle f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},}$ co oznacza, że dane przekształcenie ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ jest suriektywne.
12. Jeśli ${\displaystyle \varphi ,\psi \in N^{\star }}$ i ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,}$ to

    ${\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\varphi +\psi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))+\psi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})+(\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}}).}$

    Ponadto dla ${\displaystyle {\mathsf {c}}\in R}$ zachodzi

    ${\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(c\varphi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =c\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =c(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}}).}$

    Równości te zachodzą dla dowolnego ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,}$ zatem ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi )=\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi )}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(c\varphi )=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )}$ należą do ${\displaystyle M^{\star }.}$
13. Jeśli ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R}$ oraz ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon N\times N^{\star }\to R}$ oznaczają odpowiednio parowania modułów ${\displaystyle M,N}$ z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości ${\displaystyle \langle {\mathsf {m}},\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )\rangle =[\mathrm {L} ({\mathsf {m}}),\varphi ]}$ (por. sprzężenie hermitowskie).
14. Należy wykazać, że dla ${\displaystyle \mathrm {L} _{1},\mathrm {L} _{2}\in \mathrm {Hom} (M,N)}$ zachodzi ${\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star },}$ tzn. ${\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )}$ dla dowolnego ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {N} ^{\star }.}$ Obie strony tej równości należą do ${\displaystyle M^{\star },}$ zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M.}$ Zachodzi

    ${\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\varphi \circ (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2}))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =\varphi ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})+\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi (\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))}$

    oraz

    ${\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\varphi \circ \mathrm {L} _{1}+\varphi \circ \mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi \mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}),}$

    przy czym równości spełnione są dla dowolnego ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,}$ czyli ${\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\left(\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }\right)(\varphi )}$ należą do ${\displaystyle M^{\star },}$ a stąd obie strony równości ${\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }}$ mają tę samą wartość dla każdego ${\displaystyle {\mathsf {\varphi }}\in N^{\star },}$ skąd ${\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }}$ należy do ${\displaystyle \mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).}$ Analogicznie dowodzi się ${\displaystyle (c\mathrm {L} )^{\star }=c\mathrm {L} ^{\star }}$ dla ${\displaystyle c\in R}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} \in \mathrm {Hom} (M,N).}$
15. Ponieważ ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {id} _{M}=\varphi ,}$ a więc ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }}.}$ Stąd też ${\displaystyle (c\,\mathrm {id} _{M})^{\star }=c\,\mathrm {id} _{M^{\star }}}$ dla dowolnego ${\displaystyle c\in R.}$
16. Dla ${\displaystyle \varphi \in P^{\star }}$ oraz ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ zachodzi

    ${\displaystyle ((\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =\varphi \mathrm {L} _{2}(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))}$${\displaystyle =\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =\mathrm {L} _{1}^{\star }(\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}$${\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )({\mathsf {m}}).}$

    Z równości dla wszystkich ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ wynika, ${\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )}$ dla wszystkich ${\displaystyle \varphi \in P^{\star },}$ skąd ${\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }}$ należy do ${\displaystyle \mathrm {Hom} (P^{\star },M^{\star }).}$
17. Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości ${\displaystyle \mathrm {L} ^{-1}\circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} \circ \mathrm {L} ^{-1}=\mathrm {id} _{N},}$ przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ i ${\displaystyle \left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }}$ w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
18. Skoro ${\displaystyle M,N}$ są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N),\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).}$ Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N)}$ w bazę ${\displaystyle \mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }),}$ co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy ${\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}),({\mathsf {f}}_{j})}$ odpowiednio modułów ${\displaystyle M,N.}$ Bazę ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N)}$ tworzą funkcje ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}\colon M\to N,}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{i})={\mathsf {f}}_{j}}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}}$ dla ${\displaystyle k\neq i,}$ tj. ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}(a_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +a_{r}{\mathsf {e}}_{r})=a_{i}{\mathsf {f}}_{j}.}$ Przekształcenia dualne ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }}$ tworzą podobną bazę: ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }}$ w działaniu na bazę dualną ${\displaystyle \left({\mathsf {f}}_{j}^{\star }\right)}$ dla dowolnego wektora bazowego ${\displaystyle {\mathsf {e}}_{k}}$ przyjmuje postać

    ${\displaystyle (\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{l}^{\star })({\mathsf {e}}_{k})=\left({\mathsf {f}}_{l}^{\star }\circ \mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {f}}_{l}^{\star }(\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k}));}$

    gdy ${\displaystyle k=i,}$ to zachodzi dalsza równość ${\displaystyle {\mathsf {f}}_{l}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})}$ (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto ${\displaystyle l=j,}$ to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})={\mathsf {e}}_{i}^{\star }}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}}$ dla ${\displaystyle l\neq j,}$ a więc funkcje ${\displaystyle \left(\mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)}$ tworzą bazę.
19. Jeśli ${\displaystyle M=N,}$ to ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,M)}$ i ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M^{\star },M^{\star })}$ są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy ${\displaystyle M}$ jest skończenie generowany i wolny.
20. Zastosowanie kolejno izomorfizmu ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }}$ do dowolnie wybranego elementu ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ daje element ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{\star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} ^{\star }}$ należący do ${\displaystyle N^{\star \star }.}$ Z drugiej strony przyłożenie do ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ przekształcenia ${\displaystyle \mathrm {L} ,}$ a następnie izomorfizmu ${\displaystyle N\to N^{\star \star }}$ daje ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}.}$ Ponieważ dla dowolnego ${\displaystyle \varphi \in N^{\star }}$ zachodzi

    ${\displaystyle (\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} )(\varphi )=\mathrm {ev} _{m}\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=(\varphi \circ \mathrm {L} )({\mathsf {m}})=\varphi \mathrm {L} (\varphi )=\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}(\varphi ),}$

    to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego ${\displaystyle {\mathsf {m}},}$ to ${\displaystyle \mathrm {L} }$ można utożsamiać z ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }.}$
21. Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów ${\displaystyle M,N}$ potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ i ${\displaystyle \mathrm {N} \to N^{\star \star }}$ są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
22. Należy wykazać, że ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} };}$ niech ${\displaystyle [\cdot ]_{E}\colon M\to R^{m}}$ i ${\displaystyle [\cdot ]_{F}\colon N\to R^{n}}$ będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą ${\displaystyle [\cdot ]_{E^{\star }}\colon M^{\star }\to R^{m}}$ oraz ${\displaystyle [\cdot ]_{F^{\star }}\colon N^{\star }\to R^{n}.}$ Macierze ${\displaystyle \mathbf {L} }$ i ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }}$ są realizacjami przekształceń ${\displaystyle \mathrm {L} }$ i ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ w wybranych bazach, tj. ${\displaystyle [\mathrm {L} ({\mathsf {m}})]_{F}=\mathbf {L} [{\mathsf {m}}]_{E}}$ oraz ${\displaystyle [\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )]_{E^{\star }}=\mathbf {L} [\varphi ]_{F^{\star }}}$ dla ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ i ${\displaystyle \varphi \in N^{\star }.}$ Ponieważ ${\displaystyle [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}}$ jest ${\displaystyle j}$-tym wektorem bazy standardowej ${\displaystyle R^{m},}$ to ${\displaystyle j}$-tą kolumną ${\displaystyle \mathbf {L} }$ jest ${\displaystyle \mathbf {L} [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}=[\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j})]_{F};}$ ponieważ ${\displaystyle i}$-tą składową tego wektora współrzędnych w ${\displaystyle R^{m}}$ jest ${\displaystyle f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}),}$ gdyż ${\displaystyle \left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}}$ jest ${\displaystyle i}$-tym wektorem bazy ${\displaystyle F.}$ Wynika stąd, że ${\displaystyle (i,j)}$-tym elementem macierzy ${\displaystyle \mathbf {L} }$ jest ${\displaystyle f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}).}$ Z drugiej strony ${\displaystyle i}$-tą kolumną ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }}$ jest ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }},}$ gdyż ${\displaystyle \left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}}$ jest ${\displaystyle i}$-tym wektorem bazy standardowej ${\displaystyle R^{n},}$ a z powyższej obserwacji wynika, że ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}=[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}.}$ Funkcje współrzędnych na ${\displaystyle M^{\star }}$ względem ${\displaystyle E^{\star }}$ są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy ${\displaystyle E}$ przy utożsamieniu ${\displaystyle M\simeq M^{\star \star }}$ poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób ${\displaystyle j}$-tą współrzędną wektora ${\displaystyle [\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}}$ jest ${\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{j}}\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })=\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })({\mathsf {e}}_{j}),}$ z definicji ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest zaś ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\left({\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right)={\mathsf {f}}_{i}^{\star }\circ \mathrm {L} ,}$ a więc ${\displaystyle (j,i)}$-ty element ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }}$ jest równy ${\displaystyle (i,j)}$-temu elementowi ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ co oznacza, że ${\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }.}$
23. Należy pokazać, że dla ${\displaystyle \varphi \in N^{\star }}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=0}$ zachodzi ${\displaystyle \varphi =0.}$ Z definicji jest ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} =0}$ jako funkcja ${\displaystyle M\to R,}$ a więc ${\displaystyle \varphi \mathrm {L} ({\mathsf {m}})=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M.}$ Ponieważ ${\displaystyle \mathrm {L} }$ jest „na”, to ${\displaystyle \{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})\colon {\mathsf {m}}\in M\}=N,}$ skąd ${\displaystyle \varphi =0}$ jako forma na ${\displaystyle N.}$
24. Niech ${\displaystyle R=N=\mathbb {Z} }$ oraz ${\displaystyle M=2\mathbb {Z} ,}$ zaś ${\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N}$ będzie zanurzeniem naturalnym. Forma ${\displaystyle \varphi \colon M\to R}$ dana wzorem ${\displaystyle \varphi (2a)=a}$ jest liniowa, tj. ${\displaystyle \varphi \in M^{\star }.}$ Fakt, iż ${\displaystyle \varphi }$ należy do obrazu ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ oznacza, że ${\displaystyle \varphi }$ przedłuża się (za pomocą ${\displaystyle \mathrm {L} }$) do pewnej funkcji na ${\displaystyle N^{\star }}$ oznaczanej dalej ${\displaystyle \Phi .}$ Zachodzi ${\displaystyle 2\Phi (1)=\Phi (2)=\varphi (2)=1,}$ co oznacza, że ${\displaystyle \Phi (1)}$ nie ma rozwiązania w ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ a więc ${\displaystyle \Phi }$ nie istnieje. Istotnie, do obrazu ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ należą te elementy ${\displaystyle M^{\star },}$ których obrazem w ${\displaystyle R}$ jest ${\displaystyle 2\mathbb {Z}$ ;} moduł ${\displaystyle M=2\mathbb {Z} }$ można zastąpić tu ${\displaystyle k\mathbb {Z} }$ dla dowolnego ${\displaystyle k>1.}$
25. Przypadki ${\displaystyle M,N=\{{\mathsf {0}}\}}$ są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń ${\displaystyle \mathrm {L} (M)}$ ma dopełnienie proste w ${\displaystyle N{:}}$ wybierając bazę w ${\displaystyle \mathrm {L} (M)}$ i rozszerzając ją do bazy ${\displaystyle N}$ można zapisać ${\displaystyle N=\mathrm {L} (M)\oplus P,}$ gdzie ${\displaystyle P}$ jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa ${\displaystyle \mathrm {L} (M)\to K}$ może być rozszerzona do formy ${\displaystyle N\to K}$ poprzez rzutowanie z ${\displaystyle N}$ na ${\displaystyle \mathrm {L} (M)}$ zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na ${\displaystyle \mathrm {L} (M).}$ Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech ${\displaystyle \pi \colon N\to M}$ będzie rzutem ${\displaystyle N\to \mathrm {L} (M)}$ złożonym z funkcją odwrotną do ${\displaystyle \mathrm {L} }$ (istnieje, gdyż ${\displaystyle \mathrm {L} }$ z ${\displaystyle M}$ na ${\displaystyle \mathrm {L} (M)}$ jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. ${\displaystyle \pi \mathrm {L} (\mathbf {m} )+\mathbf {p} =\mathbf {m}$ ;} jest ono liniowe oraz ${\displaystyle \pi \circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}.}$ Dualizacja daje ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\circ \pi ^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }},}$ co oznacza, że ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }}$ jest „na”, gdyż dla każdego ${\displaystyle \varphi \in M^{\star }}$ zachodzi ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\pi ^{\star }(\varphi )=\varphi .}$
26. Własność ${\displaystyle N=\mathrm {L} (M)\oplus P}$ dla pewnego podmodułu ${\displaystyle P,}$ uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
27. Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ nie jest składnikiem prostym ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
28. Funkcje ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }}$ są liniowe, zatem należą do ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };}$ co więcej, ponieważ ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} +\mathbf {v} '}=\varphi _{\mathbf {v} }+\varphi _{\mathbf {v} '}}$ oraz ${\displaystyle \varphi _{c\mathbf {v} }=c\varphi _{\mathbf {v} }}$ dla każdego ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$ to odwzorowanie ${\displaystyle \mathbf {v} }$ w ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }}$ jest przekształceniem liniowym ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }.}$ Jest ono iniektywne, gdyż jeśli ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }=0}$ należy do ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star },}$ to wtedy ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0}$ dla każdego ${\displaystyle \mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n},}$ z kolei wzięcie ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ daje ${\displaystyle \mathbf {v} =0.}$ Aby pokazać suriektywność należy wybrać ${\displaystyle f\in \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };}$ wówczas dla każdego ${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\dots ,w_{n})=\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}}$ należącego do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest ${\displaystyle f(\mathbf {w} )=f\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum w_{i}f(\mathbf {e} _{i})=\varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} ),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {v} =f(\mathbf {e} _{1}),\dots ,f(\mathbf {e} _{n}),}$ czyli ${\displaystyle f=\varphi _{\mathbf {v} }}$ dla tego wyboru ${\displaystyle \mathbf {v} .}$
29. Izomorfizm ${\displaystyle R^{\star }\simeq R}$ opisuje wzór ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (1),}$ a w drugą stronę – ${\displaystyle a\mapsto \varphi _{a}.}$
30. Jeśli ${\displaystyle f\in \mathbb {Q} ^{\star },}$ to dla dowolnego ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ liczba całkowita ${\displaystyle f(r)}$ spełnia ${\displaystyle f(r)=2^{n}f\left(r/2^{n}\right),}$ gdzie ${\displaystyle f\left(r/2^{n}\right)\in \mathbb {Z} ,}$ co oznacza, że ${\displaystyle f(r)}$ jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi ${\displaystyle 2.}$ Zatem ${\displaystyle f(r)=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle r,}$ a więc ${\displaystyle f=0.}$
31. Która jest w istocie izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
32. Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu ${\displaystyle A}$ na elementy skończonego rzędu ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ a jedynym takim elementem tej grupy jest ${\displaystyle 0.}$
33. Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): ${\displaystyle {\hat {A}}=\mathrm {Hom} (A,S^{1}),}$ czyli zbiór homomorfizmów z ${\displaystyle A}$ w grupę okręgu ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} ^{\times }}$ z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
34. Dla każdego ${\displaystyle cI\subseteq R}$ funkcja ${\displaystyle x\mapsto cx}$ jest przekształceniem liniowym ${\displaystyle I\to R.}$ W drugą stronę, niech ${\displaystyle \varphi \colon I\to R}$ będzie formą liniową. Dla ustalonego ${\displaystyle a\in I}$ zachodzi ${\displaystyle \varphi (ax)=a\varphi (x)=x\varphi (a)=\varphi (a)x,}$ czyli ${\displaystyle \varphi (x)=cx}$ dla ${\displaystyle c=\varphi (a)/a\in K}$ dla każdego ${\displaystyle x\in I.}$ Stąd ${\displaystyle cI=\varphi (I)\subseteq R,}$ czyli każdy element ${\displaystyle I^{\star }}$ powstaje w ten sposób.
35. Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. ${\displaystyle f_{1}(a+bi)=a}$ i ${\displaystyle f_{2}(a+bi)=b}$ dla rzeczywistych ${\displaystyle a,b,}$ a więc ${\displaystyle f_{1}=\mathrm {Re} }$ jest funkcją części rzeczywistej, a ${\displaystyle f_{2}=\mathrm {Im} }$ jest funkcją części urojonej.
36. Należy wyrazić ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )}$ i ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )}$ w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe ${\displaystyle \mathrm {Re} \circ \mathrm {L} }$ oraz ${\displaystyle \mathrm {Im} \circ \mathrm {L} ,}$ to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania ${\displaystyle \mathrm {L} .}$ Ponieważ dla każdego ${\displaystyle z=a+bi\in \mathbb {C} }$ jest

    ${\displaystyle \mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}}=(2+i)(a+bi)+a-bi=(3a-b)+(a+b)i,}$

    to część rzeczywista ${\displaystyle \mathrm {L} (z)}$ wynosi ${\displaystyle 3a-b=3\mathrm {Re} (z)-\mathrm {Im} (z),}$ podczas gdy jej część urojona to ${\displaystyle a+b=\mathrm {Re} (z)+\mathrm {Im} (z),}$ co oznacza, iż ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )=3\mathrm {Re} -\mathrm {Im} }$ oraz ${\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )=\mathrm {Re} +\mathrm {Im} .}$

Bibliografia

• A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2. Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7. Brak numerów stron w książce
• H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.