Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych[uwaga 1], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).
Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.
Niech
będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym
Zbiór
wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych)
sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do
względem
[uwaga 2]. Jeśli
to
nazywa się po prostu modułem dualnym do
bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej
czyli modułu nad ciałem
zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem
[uwaga 3].
- Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem
(przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej
będzie zapisywane po prostu ![{\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b4a1464c92969591ca7ccf8cd01d02e10a672d)
Niech
wtedy też
(zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy
w
sprawia, że każda forma liniowa
jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy
odwzorowując
w element
– jest to zanurzenie
które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element
): jeśli
są rzutami względem bazy
na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy
oznacza to, że
jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę ![{\displaystyle M^{\star }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6c8c6ec0025fdb9257dfb4e6ea3910b23fed51)
Bazą dualną do bazy
modułu
nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami
(wyżej:
). Wspomniane formy liniowe
wyznaczone są za pomocą warunków:
![{\displaystyle {\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {e}}_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j,\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58d0a22acfb8f1dc8fd0ff6926f7da71d0f7933)
gdzie
jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.
W powyższym przypadku izomorfizm między
a
zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem
a modułem
nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu ![{\displaystyle M.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b865c33e30eb83000cd6387517c66dbbf3c3df9e)
Element
jest przekształceniem liniowym
Obliczenie wartości dla dowolnego elementu
jest przekształceniem
które jest liniowe,
![{\displaystyle (\varphi +\psi )({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}})+\psi ({\mathsf {m}})\quad {\text{oraz}}\quad (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543807ae15d94e3b2757b666584a2b0c1aa221e1)
wprost z definicji. Niech
będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy
Przekształcenie
dane wzorem
jest addytywne, gdyż
![{\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}')=\varphi ({\mathsf {m}})+\varphi ({\mathsf {m}}')=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}(\varphi )+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}(\varphi )=(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'})(\varphi ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df9afd1a86109b68509647f80f3b16742f8d282)
czyli
(kluczowe jest, iż elementy
są addytywne!); podobnie
co oznacza, że odwzorowanie
jest przekształceniem liniowym
dla dowolnego modułu
– bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.
Jeśli
jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne
jest izomorfizmem[uwaga 11], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą
dualną do bazy dualnej
modułu dualnego
jest baza
istotnie:
![{\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{i}}({\mathsf {e}}_{j}^{\star })={\mathsf {e}}_{j}^{\star }({\mathsf {e}}_{i})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j.\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1cba7fd9f83a5c0a0016b52fe402d76d048707)
Moduły
dla których istnieje izomorfizm
(niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.
Niech
będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na
w formy liniowe na
mianowicie: jeśli
to
Odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b302a82674b653319029196e94821b7f835c9317)
jest liniowe[uwaga 12] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do
[uwaga 13].
Przekształcenie
nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem
również jest liniowe[uwaga 14], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność[uwaga 15] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli
oraz
są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne
do złożenia
dane jest wzorem
[uwaga 16]. Wynika stąd, że jeżeli
jest izomorfizmem modułów, to
jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto
[uwaga 17].
Jeśli
są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie
jest izomorfizmem[uwaga 18][uwaga 19], a każde przekształcenie liniowe
można utożsamiać z
poprzez izomorfizm naturalny[uwaga 20][uwaga 21]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio
oraz
przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno
oraz
to macierze
typu
oraz
typu
reprezentujące
i
w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej[uwaga 22].
Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem
kolejno
oraz
dla dowolnych macierzy
dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.
Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli
jest „na”, to
jest „1-1”[uwaga 23]. Jeśli
jest różnowartościowe, to
można postrzegać jako podmoduł
tzn.
dla
przekształcenie
jest z tego punktu widzenia zawężeniem
do podmodułu
Fakt, iż odwzorowanie
jest „na” oznacza, że każda forma liniowa
jest postaci
co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe
można przedłużyć do przekształcenia liniowego
a więc
ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu
przedłużają się do elementów modułu dualnego do
W ogólności własność ta nie zachodzi[uwaga 24]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne –
jest ciałem: niech
będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem
wtedy jeśli przekształcenie
jest „1-1”, to
jest „na”[uwaga 25] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli
dla modułów
jest „1-1”, a
jest składnikiem prostym
to
jest „na”[uwaga 26][uwaga 27].
Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).
Jeśli przestrzeń liniowa
jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż
![{\displaystyle \dim _{K}V<\dim _{K}V^{\star }<\dim _{K}V^{\star \star },}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8000e4fc539160fb57d8d125d58930553bc11c)
co oznacza, że w ogólności
nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną
(zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne
jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.
W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe
nad ciałami liczb rzeczywistych
lub zespolonych
Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną
definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na
które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna
jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna
i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi
gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na ![{\displaystyle V.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2661a49b86bd1a5548e527bbfb068aa9f59978)
Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej
są rzuty na współrzędne standardowe:
![{\displaystyle c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}\mapsto c_{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc909ab3b56c8f3c1c31ca61fdd2b0bc0577566)
Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor
daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego
dana będzie forma
wzorem
![{\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+\ldots +v_{n}w_{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ae61cb198de982f36ab86914bfdbd11b147089)
Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc
będące wektorami bazy standardowej
Izomorfizm
ustala przekształcenie
tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi[uwaga 28]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem
(wystarczy wyżej zamienić „wektor”
na „element”
oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności
jest izomorficzny z
w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe
jest postaci
dla danego
[uwaga 29].
Niech
tj. rozważane
-moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej
jej
-dualną do niej jest
Jeśli
to
można utożsamiać z
za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli
będzie traktowana jako
-moduł, to
jest trywialny[uwaga 30]; traktując z kolei
jako przestrzeń
-liniową otrzymuje się nietrywialną
[uwaga 31] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli
jest skończoną grupą abelową, to jej
-dualna jest zerowa[uwaga 32][uwaga 33]; przykładowo: jeśli
to
a ponieważ
z pierwszego przykładu, to
składa się z funkcji
dla różnych
(por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).
Niech
będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków
a
będzie ideałem w
Wówczas
można interpretować jako
[uwaga 34]. Jeżeli
zaś
jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ
są w niej względnie pierwsze, to
![{\displaystyle I^{\star }={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon fI\subseteq R{\big \}}={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon 2f\in \mathbb {Z} [X]{\text{ i }}Xf\in \mathbb {Z} [X]{\big \}}=\mathbb {Z} [X],}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d0091dc057bf5072ba5375d8a19386e44e0462)
tj. jedynymi przekształceniami
-liniowymi
są mnożenia
dla ![{\displaystyle g\in \mathbb {Z} [X].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb89f0e5d1c5914779b15f0c2ac5200bff57cb55)
Niech
a ;}
baza dualna
przestrzeni liniowej
do bazy standardowej
przestrzeni
-liniowej
jest postaci
[uwaga 35]. Niech odwzorowanie
dane będzie wzorem
jest ono
-liniowe, przy czym
oraz
W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny)
przekształcenie
reprezentowane jest za pomocą macierzy
Macierzą
w bazie
przestrzeni
jest macierz
transponowana do macierzy odwzorowania
[uwaga 36] (zob. macierz przekształcenia liniowego).
Jeśli
zaś
oraz
a ponadto
dane jest wzorem
to odwzorowanie
dane wzorem
należy do przestrzeni dualnej do
a złożenie
które przeprowadza
na
należy do przestrzeni dualnej do
– złożeniem tym jest ![{\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae0704670dd7020685eeab3726caacd068fa5bb)
Niech
będzie ciałem skończonym (np.
dla liczby pierwszej
), a zbiór
będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy
Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór
jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia
jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku:
w ten sposób
jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ
jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz
to
jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne
(a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.
Jeśli
nie byłby przemienny, to wzór
definiuje przekształcenie
które nie musi być liniowe. Niekiedy spotyka się oznaczenie ![{\displaystyle M^{\vee }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea23509add03ff4b2870dee683d0b7f2afbabd8)
Jeśli
to
dane wzorami
umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego
wzorem
Na odwrót, jeśli
to przekształcenie
dane wzorem
definiuje formę
Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego
odwrotnego do powyższego. Jeśli
tzn.
to
można postrzegać jako podmoduł
w standardowy sposób; wówczas zawężenie
jest przekształceniem liniowym należącym do produktu
przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej
Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego
danego wzorem
Niech dla dowolnego
dany będzie
wzorem
Suma ta jest skończona, gdyż
należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie
(wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do
Stąd odwzorowanie
jest przekształceniem liniowym
odwrotnym do skonstruowanego na początku. W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać:
Przyjęcie
daje pierwotne stwierdzenie. Niech
a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia
są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe
w produkt prosty wzorem
przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja
jest odwzorowaniem liniowym z
w
– jest ono iniektywne, gdyż
można odzyskać z
przyjmując
gdzie wszystkie współrzędne poza
-tą równą
są zerowe. Przypadek
dający
jest trywialny: wówczas
gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym
jest forma zerowa. Jeżeli
to
Jeśli
jest izomorfizmem, to izomorfizm
dany jest poprzez
gdzie
jest formą liniową, a izomorfizm
ma postać ![{\displaystyle \varphi _{\mathsf {p}}({\mathsf {q}})=\langle {\mathsf {p}},{\mathsf {q}}\rangle =\sum p_{i}q_{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7c153c2b3ad0da004d4a8c8acf13ff89aa85f2)
Niech
zaś
będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas
jest izomorficzny z
który nie jest
-modułem wolnym. Jeśli
byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech
będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych
że najwyższa potęga
dzieląca
dąży do
dla
(przykładami są
czy
jak również dowolny ciąg, dla którego
dla dużych wszystkich
kontrprzykładem jest
). Niech
ma
-tą współrzędną równą
a pozostałe równe
Elementy te nie tworzą bazy
gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element
ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje
w
generują
a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę
skąd
ma przeliczalny wymiar nad
Jeżeli
byłby wolny, to niech
oznacza
-bazę modułu
wówczas
czyli
Ponieważ
ma przeliczalny wymiar nad
to zbiór wskaźników (dla
) również musi być przeliczalny, a więc
ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów
co daje przeliczalność
Z drugiej jednak strony funkcja
dana wzorem
jest iniektywna, a więc
jest nieprzeliczalny, gdyż
jest nieprzeliczalny. Stąd
nie jest wolny, a co za tym idzie
również. Niech
będzie bazą
a
będzie stowarzyszoną z nią bazą
Każdy niezerowy element
ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem
dla pewnego
Stąd
co oznacza, że
jest niezerowym elementem
Tym samym jedynym
dla którego
jest zerem w
jest element
skąd wynika, że dane odwzorowanie
jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element
jest pewnym
niech
należy wskazać
dla którego
tj.
dla dowolnego
Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na
to wystarczy wyznaczyć
które spełnia to równanie dla
przebiegającego bazę dualną
która rozpina
Niech
oraz
Wówczas
czyli
co oznacza, że dane przekształcenie
jest suriektywne. Jeśli
i
to
![{\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc3075f5f2450cf717c4546072ba468c7ab33c3)
![{\displaystyle =(\varphi +\psi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0db864a41852875d6ecd48d50ae6e9948e2803)
![{\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))+\psi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fe5e73e76545629e548531423b6e742887443d)
![{\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})+(\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e841ab3453f81e6ad96638f176d06cbf789c3d0c)
![{\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00855e6bd5b2ebeeac3a91b8149d668fcc415d36)
Ponadto dla
zachodzi
![{\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce21da5e220981cd1ae6f121ef810e2a50ecda0)
![{\displaystyle =(c\varphi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f2c1d55e057a3db0bc2b1afe46903606cbd8de)
![{\displaystyle =c\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22da343cca92d6b8bd7a388c051ec21d9df6a53a)
![{\displaystyle =c(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337fe7e73212bfe9eb77f49a116559845bdce32c)
![{\displaystyle =c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f9a54290f0dc73b18752fa8970fde5879b4aec)
Równości te zachodzą dla dowolnego
zatem
oraz
należą do ![{\displaystyle M^{\star }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6c8c6ec0025fdb9257dfb4e6ea3910b23fed51)
Jeśli
oraz
oznaczają odpowiednio parowania modułów
z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości
(por. sprzężenie hermitowskie). Należy wykazać, że dla
zachodzi
tzn.
dla dowolnego
Obie strony tej równości należą do
zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego
Zachodzi
![{\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7472e8bc50dc5372ef3541e35f2ff0991727bb52)
![{\displaystyle =(\varphi \circ (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2}))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a27d406a94708952fdd7ef4ca98ff622881fa20)
![{\displaystyle =\varphi ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a14c49f006308a3aae17d696bfe43a8bb1833a)
![{\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})+\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8e23325fba3d7143f789aec49b7cec28723f36)
![{\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi (\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503e692942b7fc37922e9adbc26618359bcdf07a)
oraz
![{\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455826fbab1e72662cda7adafaa0e18dd8ab8e0)
![{\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56225332645a55f7bd25e921cccee560858f9b6c)
![{\displaystyle =(\varphi \circ \mathrm {L} _{1}+\varphi \circ \mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646d75baf02c594e77033e80aedd41bed9706df7)
![{\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi \mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0e3ad58e040676c22062abe79edccdc5d5387f)
przy czym równości spełnione są dla dowolnego
czyli
należą do
a stąd obie strony równości
oraz
mają tę samą wartość dla każdego
skąd
należy do
Analogicznie dowodzi się
dla
oraz ![{\displaystyle \mathrm {L} \in \mathrm {Hom} (M,N).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ac9707c57a9c49a76af2bd718a106ff05e850a)
Ponieważ
a więc
Stąd też
dla dowolnego ![{\displaystyle c\in R.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131686d0fdefb0552f4800e84758a57264a808d2)
Dla
oraz
zachodzi
![{\displaystyle ((\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1d706dc2e765286fcfc434e4d518e4fdee5df4)
![{\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d4147aaee0dd7e4a3c9be1095b05460a89edbb)
![{\displaystyle =\varphi \mathrm {L} _{2}(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bcff6e48e2fbb409db887765d30ae02be3ce46)
![{\displaystyle =\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aee88287c0c229c5d70fcd1d17cfb19001be15b)
![{\displaystyle =\mathrm {L} _{1}^{\star }(\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c53ab7d567883abf481fdce2a0fd964afca4292)
![{\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )({\mathsf {m}}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e8fefc77ae5a08e31ec7489bbb3ce45269970d)
Z równości dla wszystkich
wynika,
dla wszystkich
skąd
należy do ![{\displaystyle \mathrm {Hom} (P^{\star },M^{\star }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03284d91f0104af8cbc4cb63fcdaf96abb7cbf1e)
Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości
oraz
przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń
i
w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych. Skoro
są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i
Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę
w bazę
co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy
odpowiednio modułów
Bazę
tworzą funkcje
gdzie
oraz
dla
tj.
Przekształcenia dualne
tworzą podobną bazę:
w działaniu na bazę dualną
dla dowolnego wektora bazowego
przyjmuje postać
![{\displaystyle (\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{l}^{\star })({\mathsf {e}}_{k})=\left({\mathsf {f}}_{l}^{\star }\circ \mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {f}}_{l}^{\star }(\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k}));}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9825cdd6303e353af8e627ec2f21bab46d7e71c)
gdy
to zachodzi dalsza równość
(w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto
to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też
oraz
dla
a więc funkcje
tworzą bazę. Jeśli
to
i
są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy
jest skończenie generowany i wolny. Zastosowanie kolejno izomorfizmu
oraz
do dowolnie wybranego elementu
daje element
należący do
Z drugiej strony przyłożenie do
przekształcenia
a następnie izomorfizmu
daje
Ponieważ dla dowolnego
zachodzi
![{\displaystyle (\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} )(\varphi )=\mathrm {ev} _{m}\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=(\varphi \circ \mathrm {L} )({\mathsf {m}})=\varphi \mathrm {L} (\varphi )=\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}(\varphi ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f079b6f0d892491cedb4d99ba6c30a2260829d2a)
to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego
to
można utożsamiać z ![{\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9390da0ab7b5118063c573ac053e6622c947747)
Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów
potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne
i
są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów. Należy wykazać, że
niech
i
będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą
oraz
Macierze
i
są realizacjami przekształceń
i
w wybranych bazach, tj.
oraz
dla
i
Ponieważ
jest
-tym wektorem bazy standardowej
to
-tą kolumną
jest
ponieważ
-tą składową tego wektora współrzędnych w
jest
gdyż
jest
-tym wektorem bazy
Wynika stąd, że
-tym elementem macierzy
jest
Z drugiej strony
-tą kolumną
jest
gdyż
jest
-tym wektorem bazy standardowej
a z powyższej obserwacji wynika, że
Funkcje współrzędnych na
względem
są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy
przy utożsamieniu
poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób
-tą współrzędną wektora
jest
z definicji
jest zaś
a więc
-ty element
jest równy
-temu elementowi
co oznacza, że ![{\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f398888bef00b06e93598c7ac34803b8b0e7c0)
Należy pokazać, że dla
oraz
zachodzi
Z definicji jest
jako funkcja
a więc
dla wszystkich
Ponieważ
jest „na”, to
skąd
jako forma na ![{\displaystyle N.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356b8b60a047de347b447f2bdafaaccf47502031)
Niech
oraz
zaś
będzie zanurzeniem naturalnym. Forma
dana wzorem
jest liniowa, tj.
Fakt, iż
należy do obrazu
oznacza, że
przedłuża się (za pomocą
) do pewnej funkcji na
oznaczanej dalej
Zachodzi
co oznacza, że
nie ma rozwiązania w
a więc
nie istnieje. Istotnie, do obrazu
należą te elementy
których obrazem w
jest ;}
moduł
można zastąpić tu
dla dowolnego ![{\displaystyle k>1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd00bc5bddda614f914a4944f185ebd29e813f9)
Przypadki
są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń
ma dopełnienie proste w
wybierając bazę w
i rozszerzając ją do bazy
można zapisać
gdzie
jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa
może być rozszerzona do formy
poprzez rzutowanie z
na
zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na
Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż
jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech
będzie rzutem
złożonym z funkcją odwrotną do
(istnieje, gdyż
z
na
jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. ;}
jest ono liniowe oraz
Dualizacja daje
co oznacza, że
jest „na”, gdyż dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\pi ^{\star }(\varphi )=\varphi .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c610ea7b32a9ab70aaca3727e0f6432fedf3183)
Własność
dla pewnego podmodułu
uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów. Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż
nie jest składnikiem prostym ![{\displaystyle \mathbb {Z} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f4f38f32c2068bca9dc701d13b03dd4a5d52ab)
Funkcje
są liniowe, zatem należą do
co więcej, ponieważ
oraz
dla każdego
to odwzorowanie
w
jest przekształceniem liniowym
Jest ono iniektywne, gdyż jeśli
należy do
to wtedy
dla każdego
z kolei wzięcie
daje
Aby pokazać suriektywność należy wybrać
wówczas dla każdego
należącego do
jest
gdzie
czyli
dla tego wyboru ![{\displaystyle \mathbf {v} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403a39746fb7416e8917e81d974df3d75b710131)
Izomorfizm
opisuje wzór
a w drugą stronę – ![{\displaystyle a\mapsto \varphi _{a}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635cd5c62eed35040d9dc918d93102753d6432a0)
Jeśli
to dla dowolnego
liczba całkowita
spełnia
gdzie
co oznacza, że
jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi
Zatem
dla wszystkich
a więc ![{\displaystyle f=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c6fc749ee0eb6189e3942e276869c47dc258b7)
Która jest w istocie izomorficzna z ![{\displaystyle \mathbb {Q} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869719f08f506bf866043442858fb3da1d4b4b5b)
Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu
na elementy skończonego rzędu
a jedynym takim elementem tej grupy jest ![{\displaystyle 0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina):
czyli zbiór homomorfizmów z
w grupę okręgu
z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych. Dla każdego
funkcja
jest przekształceniem liniowym
W drugą stronę, niech
będzie formą liniową. Dla ustalonego
zachodzi
czyli
dla
dla każdego
Stąd
czyli każdy element
powstaje w ten sposób. Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj.
i
dla rzeczywistych
a więc
jest funkcją części rzeczywistej, a
jest funkcją części urojonej. Należy wyrazić
i
w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe
oraz
to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania
Ponieważ dla każdego
jest
![{\displaystyle \mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}}=(2+i)(a+bi)+a-bi=(3a-b)+(a+b)i,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2ae6cda9037d255e419ead81572363dbe0e11f)
to część rzeczywista
wynosi
podczas gdy jej część urojona to
co oznacza, iż
oraz ![{\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )=\mathrm {Re} +\mathrm {Im} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee3a874124ab91859f9b60eaf1be2359fb28752)
- A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2. Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7. Brak numerów stron w książce
- H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.