Macierz nilpotentna

Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Przykład

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}},}$

bowiem kolejne potęgi tej macierzy ${\displaystyle N^{2},N^{3},N^{4}}$ są równe:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Własności

• Jeśli ${\displaystyle A}$ jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna ${\displaystyle k}$ taka, że ${\displaystyle A^{k}=\Theta ,}$ nie przekracza stopnia ${\displaystyle A.}$
• Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej ${\displaystyle A}$ jest postaci ${\displaystyle F_{A}(\lambda )=\lambda ^{n},}$ stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
• Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
• Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
• każda wielokrotność ${\displaystyle k\cdot A}$ macierzy nilpotentnej ${\displaystyle A}$ też jest nilpotentna. Każda potęga ${\displaystyle A^{k}}$ macierzy nilpotentnej ${\displaystyle A}$ też jest nilpotentna.

Postać Jordana

Niech ${\displaystyle N_{k}}$ będzie macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle k}$ postaci:

${\displaystyle N_{k}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności ${\displaystyle N_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\;N_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{k_{1}}&0&\ldots &0\\0&N_{k_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &N_{k_{r}}\end{bmatrix}}}$

dla pewnych ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{r}.}$

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała^[a].

Zobacz też

• macierz idempotentna
• mnożenie macierzy
• nilpotentność

Uwagi

1. W ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte.