Droga (topologia)

Droga – ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się^[1]. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja

Niech ${\displaystyle I=[0,1]\subset \mathbb {R} }$ oraz niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie ${\displaystyle f\colon I\to X.}$

Punktem początkowym drogi jest ${\displaystyle f(0),}$ a końcowym ${\displaystyle f(1).}$ Często mówi się o „drodze z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle y}$”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w ${\displaystyle x\in X}$ nazywa się drogę z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle x.}$ Równoważnie można określić ją jako drogę ${\displaystyle \alpha \colon I\to X}$ taką, że ${\displaystyle \alpha (0)=\alpha (1)}$ lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli ${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {S}}^{1}\to X.}$ Ostatnia równoważność wynika z tego, że ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle I}$ z utożsamionymi punktami ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle 1.}$

Zbiór pętli w ${\displaystyle X}$ zaczepionych w ${\displaystyle a}$ nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem ${\displaystyle \Omega (X).}$

Drogowa spójność

Osobny artykuł: przestrzeń spójna.

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń ${\displaystyle X}$ może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często ${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem ${\displaystyle X,}$ który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania ${\displaystyle f(x)=x}$ oraz ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ będące dwiema różnymi drogami z ${\displaystyle 0}$ do ${\displaystyle 1}$ na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech ${\displaystyle (X,a)}$ będzie taką przestrzenią, drogą w ${\displaystyle (X,a)}$ nazywa się te drogi w ${\displaystyle X,}$ których punktem początkowym jest ${\displaystyle a.}$ Analogicznie pętlą w ${\displaystyle (X,a)}$ nazywa się pętle zaczepione w ${\displaystyle a.}$

Homotopia

Homotopia między dwiema drogami.

Osobny artykuł: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy ${\displaystyle I}$) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi

Homotopią dróg z ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle b}$ w ${\displaystyle X}$ nazywamy rodzinę dróg ${\displaystyle f_{t}\colon I\to X}$ taką, że

• ${\displaystyle f_{t}(0)=a}$ i ${\displaystyle f_{t}(1)=b}$ są stałe,
• odwzorowanie ${\displaystyle F\colon I\times I\to X}$ dane wzorem ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$ jest ciągłe.

Pętle

Homotopią pętli ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (X,a)}$ nazywamy homotopię ${\displaystyle H\colon I\times I\to X}$ łączącą ${\displaystyle \alpha }$ oraz ${\displaystyle \beta }$ spełniającą warunek ${\displaystyle H(0,t)=H(1,t)=a}$ dla ${\displaystyle t\in I.}$

Dla powyższej homotopii każda droga ${\displaystyle \alpha _{t}(s)=H(s,t)}$ jest pętlą w ${\displaystyle X}$ zaczepioną w ${\displaystyle a.}$ Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia ${\displaystyle a}$ nie ulegał przesunięciu.

Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w ${\displaystyle \Omega (X)}$ i pętli w ${\displaystyle \Omega (X,a)}$ są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi ${\displaystyle f}$ tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często ${\displaystyle [f].}$

Składanie

Załóżmy, że ${\displaystyle f}$ jest drogą z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle y,}$ zaś ${\displaystyle g}$ z ${\displaystyle y}$ do ${\displaystyle z.}$ Złożeniem dróg ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ nazywamy drogę ${\displaystyle f\circ g}$ zdefiniowaną jako uprzednie przejście po ${\displaystyle f,}$ a następnie po ${\displaystyle g{:}}$

${\displaystyle (f\circ g)(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leqslant s\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant s\leqslant 1\end{cases}}.}$

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w ${\displaystyle a,}$ to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. ${\displaystyle [(f\circ g)\circ h]=[f\circ (g\circ h)].}$

Grupa podstawowa

Osobny artykuł: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie ${\displaystyle a}$ strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną ${\displaystyle \pi _{1}(X,a).}$

Zobacz też

• grupa podstawowa
• homotopia
• krzywa

Przypisy

1. pętla, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-12].

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.