Pierwszym międzynarodowym sukcesem Griszczuka było wicemistrzostwo świata juniorów do lat 10 w Duisburgu w roku 1992 (zwyciężył wówczas Luke McShane). W roku 1998 wziął udział w szachowych mistrzostwach Rosji w Petersburgu, uzyskując wynik 5 pkt z 11 partii, co zostało uznane za duży sukces. Rok 1999 przyniósł mu pierwsze bardzo dobre rezultaty: wygrał szachowy memoriał Michaiła Czigorina w Sankt Petersburgu, awansował do ćwierćfinału mistrzostw Rosji (rozgrywanych systemem pucharowym) oraz wystąpił w narodowym zespole na drużynowych mistrzostwach Europy w Batumi. W tym samym roku FIDE przyznała mu (w wieku 16 lat) tytuł arcymistrza.
2005 – IV miejsce w Pucharze Świata w Chanty-Mansijsku, III miejsce w turnieju elity (XVIII kat. FIDE) w Pojkowskij, V miejsce w turnieju elity Corus (XIX kat. FIDE) w Wijk aan Zee
Wielokrotny reprezentant Rosji w turniejach drużynowych, między innymi:
ośmiokrotnie na olimpiadach szachowych (w latach 2000, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014); sześciokrotny medalista: wspólnie z drużyną: dwukrotnie złoty (2000, 2002) i trzykrotnie srebrny (2004, 2010, 2012) oraz indywidualnie – brązowy (2000 – na VI szachownicy)[13]
pięciokrotnie na drużynowych mistrzostwach świata (w latach 2001, 2005, 2010, 2011, 2013); ośmiokrotny medalista: wspólnie z drużyną: trzykrotnie złoty (2005, 2010, 2013) i srebrny (2001) oraz indywidualnie – złoty (2005 – na III szachownicy), dwukrotnie srebrny (2001 – na III szachownicy, 2011 – na II szachownicy) i brązowy (2010 – na I szachownicy)[14]
pięciokrotnie na drużynowych mistrzostwach Europy (w latach 1999, 2003, 2007, 2011, 2013); czterokrotny medalista: wspólnie z drużyną – dwukrotnie złoty (2003, 2007) i brązowy (2013) oraz indywidualnie – złoty (2011 – na II szachownicy)[15]
Aleksandr Griszczuk był ósmym w historii szachistą, który przekroczył granicę 2800 punktów rankingowych. Najwyższy ranking w dotychczasowej karierze osiągnął 1 grudnia 2014, z wynikiem 2810 punktów zajmował wówczas 3. miejsce na światowej liście FIDE (za Magnusem Carlsenem i Fabiano Caruaną), jednocześnie zajmując 1. miejsce wśród rosyjskich szachistów[2].
Żoną Aleksandra Griszczuka jest czołowa ukraińska szachistka, Natalija Żukowa[16].
