Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.
- Wnętrze zbioru jest otwartym podzbiorem
- Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów
- Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w [1].
- Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
- Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu:
- Jeżeli jest podzbiorem to jest podzbiorem
- Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów:
- Jeżeli jest zbiorem otwartym, to jest podzbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem
Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.
W przestrzeni metrycznej punkt zbioru jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie całkowicie zawarta w zbiorze
Pozostałe własności
- dla dowolnych zbiorów
- dla dowolnej rodziny zbiorów
- Dla każdego mamy
przykład:
- W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
- W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
- Niech oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
- wnętrzem przedziału domkniętego jest przedział otwarty
- wnętrzem przedziału jest przedział
- wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
- wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
- wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
- zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.