Symbol Schläfliego

Symbol Schläfliego – zapis {p, q, r,...}, który jednoznacznie określa foremne wielokomórki lub parkietaże. Nazwa symbolu wzięła się od dziewiętnastowiecznego matematyka Ludwiga Schläfliego, który dokonał wielu ważnych osiągnięć w zakresie geometrii i pokrewnych dziedzin.

Definicja formalna

Symbol Schläfliego jest definiowany rekurencyjnie: {p} oznacza wielokąt foremny o p bokach. Na przykład {3} to trójkąt równoboczny.

Zapis {p,q} określa wielościan foremny, którego ściany są p-kątami foremnymi, a w każdym wierzchołku schodzi się q ścian. Na przykład {3,4} to ośmiościan foremny – w każdym jego wierzchołku schodzą się po 4 trójkąty równoboczne.

Zapis {p,q,r} oznacza 4-wymiarową wielokomórkę foremną, w którego wierzchołku schodzi się z r wielościanów foremnych {p,q}. Na przykład {4,3,3} to hipersześcian – w każdej jego krawędzi schodzą się po 3 sześciany.

Analogicznie określa się {p,q,r,s} oraz symbole zawierające większą liczbę zmiennych.
Komórką (czyli uogólnieniem ściany) regularnej wielokomórki {p,q,r... x,y,z} jest wielokomórka {p,q,r...x,y}, która jest o jeden wymiar mniejsza.

Wielotopy foremne

Wielokąty foremne (płaszczyzna)

Dowolny wypukły n-kąt foremny ma symbol Schläfliego {n}.

Wielościany foremne (przestrzeń trójwymiarowa)

Istnieje dokładnie 5 wypukłych wielościanów foremnych: {3,3} to czworościan foremny, {4,3} to sześcian, {3,4} to ośmiościan foremny, {3,5} to dwudziestościan foremny oraz {5,3} to dwunastościan foremny. Istnieją także 4 niewypukłe wielościany foremne, nazywane wielościanami Keplera-Poinsota.

Wielokomórki foremne w przestrzeni czterowymiarowej

W przestrzeni 4-wymiarowej istnieje 6 wypukłych wielokomórek foremnych oraz 10 niewypukłych. Tymi wypukłymi są: 4-wymiarowy sympleks mający symbol {3,3,3}, 4-wymiarowy hipersześcian o symbolu {4,3,3}, 4-wymiarowy hiperośmiościan z symbolem {3,3,4}, 24-komórka o symbolu {3,4,3}, 120-komórka, czyli {5,3,3} oraz 600-komórka zapisywana jako {3,3,5}.

Wielokomórki foremne w wyższych wymiarach

W wymiarze piątym i wyższych są dokładnie po 3 wielotopy foremne: sympleks z symbolem {3,3,3,...}, hipersześcian z symbolem {4,3,...3,3} oraz hiperośmiościan z symbolem {3,3,...3,4}.

Dualność

Jeśli foremna wielokomórka o wymiarze ≥2 ma symbol Schläfliego {p₁,p₂, ..., p_{n – 1}}, to wielokomórka dualna do niej ma symbol {p_{n – 1}, ..., p₂,p₁}. Jedynymi parami dualnych wielościanów są sześcian i ośmiościan foremny lub dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny. W przestrzeni 4-wymiarowej przykładem pary dualnych wielokomórek są 120-komórka (symbol {5,3,3}) i 600-komórka (symbol {3,3,5}). Istnieją także wielokomórki samodualne (ich symbol Schläfiego jest palindromem) Przykładem wielościanu samodualnego jest czworościan z symbolem {3,3}, w ogólności w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni wielotopoem samodualnym jest sympleks.

Bibliografia

• Harold Scott MacDonald Coxeter, Regular Polytopes.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Schläfli Symbol, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).