Pierścień przemienny (rzad. komutatywny) – pierścień, w którym mnożenie jest przemienne („komutatywne”), czyli którego wszystkie elementy ze sobą komutują, tj. dla dowolnych elementów
danego pierścienia
zachodzi ![{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9a7a9f915468093b88dd498329a98aaa386fcf)
Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu elementu neutralnego mnożenia (zob. pierścień z jedynką)[1].
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7398c87044b5c2812e862a1b7319535836bf691)
- Pierścienie klas reszt modulo
są przemienne dla dowolnego ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b82f4024a32a795b10f00971e03ad88ebaa367)
- Jeżeli
jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej
o współczynnikach z
wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień wielomianów
który również jest przemienny.
- Zbiór wszystkich liczb postaci
gdzie
i
są dowolnymi liczbami całkowitymi.
- Twierdzenie Wedderburna[2]: każdy skończony pierścień z dzieleniem (tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny), jest przemienny (a więc jest ciałem).
Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969. Brak numerów stron w książce
J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc..