![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Measure_illustration.png/640px-Measure_illustration.png&w=640&q=50)
Miara (matematyka)
typ nieujemnej funkcji rzeczywistej, której argumentami są zbiory / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Miara (matematyka)?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Miara – funkcja określająca „wielkości” mierzalnych podzbiorów ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych bądź nieskończoności przy założeniu, że zbiór pusty ma miarę zero, a miara sumy zbiorów rozłącznych jest sumą ich miar.
![]() |
Zobacz też: inne znaczenia wyrazu „miara”. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Measure_illustration.png/320px-Measure_illustration.png)
Pojęcie miary wyrosło z ogólnego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue’a. Jego miara jest uogólnieniem tych pojęć dla podzbiorów przestrzeni które należą do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedziały n-wymiarowe (czyli zbiory postaci
)[1].
Na danym zbiorze można określać różne miary.
Np. załóżmy, że mamy 10 odróżnialnych kostek do gry w różnych kolorach. Wtedy możemy zdefiniować miary:
- miara określająca liczby kostek o kolorze czerwonym w zadanych podzbiorach zbioru kostek,
- miara prawdopodobieństwa, np. określająca prawdopodobieństwo wyrzucenia podczas rzutu 10 kostek sumarycznej liczby oczek większej niż 30,
- miara Diraca określająca, czy dany podzbiór kostek posiada ustaloną kostkę
itp.
Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej.
Czasem jest niemożliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego w definicji miary bierze się pod uwagę zbiory należące do σ-ciała danego zbioru.
Własnościami miar zajmuje się teoria miary, będąca gałęzią analizy matematycznej. Teoria miary bada σ-ciała, miary, funkcje mierzalne oraz całki.